Escreva o sistema normal abaixo como uma EDO escalar de ordem. .
Resp. y'' - c y
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações diferenciais e precisamos transformá-lo em uma única equação diferencial ordinária (EDO) de terceira ordem. A matéria que vamos usar aqui envolve sistemas de EDOs e a técnica de eliminar variáveis para obter uma EDO escalar. Precisamos lembrar de como derivar as equações e substituir as variáveis para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema que nos foi dado:
Aqui, o apóstrofo (’) indica derivada em relação a uma variável, geralmente o tempo.
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar as variáveis e para obter uma única equação envolvendo apenas . Vamos começar derivando as equações passo a passo.
Primeiro, sabemos que:
Vamos derivar essa equação em relação ao tempo:
Mas do sistema original temos , então substituímos:
Passo 4
Agora, vamos derivar novamente :
E do sistema original, sabemos que . Vamos substituir e usando as equações que já temos:
Sabemos que e . Então,
Passo 5
Agora, vamos reorganizar essa equação para deixá-la igualada a zero:
Essa é a nossa EDO escalar de terceira ordem.
Resposta
A EDO escalar de terceira ordem correspondente ao sistema dado é: