Uma esfera de
é mantida fixa na posição
. Outra esfera de
é mantida fixa na posição
, expressa em metros. Em que ponto (sem ser o infinito) deve ser colocada uma terceira esfera, de
, para que a força gravitacional resultante que atua sobre ela seja igual a zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! No enunciado, temos duas esferas pesando 40 kg e 80 kg fixas em pontos diferentes no espaço. Precisamos descobrir onde colocar uma terceira esfera de 1 kg para que as forças gravitacionais das duas primeiras se anulem, ou seja, resultem em zero sobre a terceira esfera. Vamos usar conceitos de Lei da Gravitação Universal para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que diz que a força gravitacional entre duas massas é dada por:
Onde:
-
é a força gravitacional, -
é a constante gravitacional ( ), -
e são as massas das duas esferas, -
é a distância entre os centros das duas massas.
Passo 3
Vamos chamar a posição das esferas de:
- Esfera A:
kg, - Esfera B:
m, - Esfera C (a que queremos posicionar):
m.
Estamos buscando um valor de
tal que a força gravitacional exercida por A e por B sobre C se anulem.
Passo 4
A força gravitacional exercida por A sobre C (
) será atraindo C para baixo (direção negativa de y), e a força exercida por B sobre C (
) será atraindo C para cima (direção positiva de y). Para que a força resultante seja zero:
Passo 5
Substituindo na fórmula da gravitação:
Podemos cancelar
e
dos dois lados:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores das massas:
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 40:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, cruzamos os termos:
Expande-se o lado esquerdo:
Passo 8
Levar tudo para um lado da equação:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Passo 9
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então:
Passo 10
Avaliar as duas soluções:
-
≈ -3 + 4,242 ≈ 1,242 m -
≈ -3 - 4,242 ≈ -7,242 m
Como estamos procurando um ponto entre as esferas ou próximo a elas (não no infinito), descartamos a solução negativa.
Resposta
Portanto, a terceira esfera de 1,00 kg deve ser colocada aproximadamente a
metros da posição inicial, ou seja, no ponto
m, para que a força gravitacional resultante seja igual a zero.
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