Uma esfera de 40,0 kg é mantida fixa na posição (0,0). Outra esfera de 80,0 kg é mantida fixa na posição (0,3), expressa em metros. Em que ponto (sem ser o infinito) deve ser colocada uma terceira esfera, de 1,00 kg, para que a força gravitacional resultante que atua sobre ela seja igual a zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! No enunciado, temos duas esferas pesando 40 kg e 80 kg fixas em pontos diferentes no espaço. Precisamos descobrir onde colocar uma terceira esfera de 1 kg para que as forças gravitacionais das duas primeiras se anulem, ou seja, resultem em zero sobre a terceira esfera. Vamos usar conceitos de Lei da Gravitação Universal para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que diz que a força gravitacional entre duas massas é dada por:
F = G m1 m2r^2
Onde:
  • é a força gravitacional,
  • é a constante gravitacional ( ),
  • e são as massas das duas esferas,
  • é a distância entre os centros das duas massas.

Passo 3

Vamos chamar a posição das esferas de:
  • Esfera A: kg,
  • Esfera B: m,
  • Esfera C (a que queremos posicionar): m.
Estamos buscando um valor de tal que a força gravitacional exercida por A e por B sobre C se anulem.

Passo 4

A força gravitacional exercida por A sobre C ( FAC = FBC ) será atraindo C para baixo (direção negativa de y), e a força exercida por B sobre C ( ) será atraindo C para cima (direção positiva de y). Para que a força resultante seja zero:

Passo 5

Substituindo na fórmula da gravitação:
G mA mC(y - 0)^2 = G mB mC(3 - y)^2
Podemos cancelar mAy^2 = mB(3 - y)^2 e dos dois lados:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores das massas:
40y^2 = 80(3 - y)^2
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 40:
1y^2 = 2(3 - y)^2

Passo 7

Agora, vamos resolver para (3 - y)^2 = 2 y^2 . Primeiro, cruzamos os termos:
9 - 6y + y^2 = 2y^2
Expande-se o lado esquerdo:

Passo 8

Levar tudo para um lado da equação:
9 - 6y + y^2 - 2y^2 = 0 - y^2 - 6y + 9 = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
y^2 + 6y - 9 = 0

Passo 9

Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde De, y = -6 pm raiz722 = -6 pm 6raiz22 = -3 pm 3raiz2 , e .
Calculando o discriminante:
Então:

Passo 10

Avaliar as duas soluções:
  1. ≈ -3 + 4,242 ≈ 1,242 m
  2. ≈ -3 - 4,242 ≈ -7,242 m
Como estamos procurando um ponto entre as esferas ou próximo a elas (não no infinito), descartamos a solução negativa.

Resposta

Portanto, a terceira esfera de 1,00 kg deve ser colocada aproximadamente a metros da posição inicial, ou seja, no ponto m, para que a força gravitacional resultante seja igual a zero.

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