Um cometa possui velocidade igual a 4,0 times 10^4 m / s quando a sua distância ao centro do Sol é 4,0 times 10^10 m. Determine a velocidade do cometa quando a distância ao centro do Sol seja 2,0 times 10^10 m. (G cdot Ms=1,33 times 10^20 Nm^2 / kg)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um cometa que está se movendo a uma velocidade de quando está a uma distância de do centro do Sol. A gente precisa descobrir qual será a velocidade do cometa quando essa distância for reduzida para . Vamos usar conceitos de física, especificamente da Lei da Conservação da Energia Mecânica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total de um sistema conservativo (sem perdas de energia) é a soma da energia cinética ( Etotal = Ec + Ep ) e da energia potencial gravitacional ( Ec = 12 m v^2 ). A fórmula é:
Ep = -G cdot Ms cdot mr
A energia cinética é dada por:
E a energia potencial gravitacional é:
Onde:
  • (constante gravitacional vezes massa do Sol),
  • é a massa do cometa,
  • é a velocidade do cometa,
  • é a distância ao centro do Sol.

Passo 3

Como a energia mecânica total é conservada, a energia total inicial ( Etotal 1 = Etotal 2 ) é igual à energia total final ( 12 m v1^2 - G cdot Ms cdot mr1 = 12 m v2^2 - G cdot Ms cdot mr2 ):
12 v1^2 - G cdot Msr1 = 12 v2^2 - G cdot Msr2
Substituindo as expressões de energia cinética e potencial:
Perceba que a massa do cometa ( ) pode ser cancelada dos dois lados da equação:

Passo 4

Agora, vamos isolar 12 v2^2 = 12 v1^2 - G cdot Msr1 + G cdot Msr2 :
v2^2 = v1^2 - 2 G cdot Msr1 + 2 G cdot Msr2
Multiplicando ambos os lados por 2:
v2 = raizv1^2 - 2 G cdot Msr1 + 2 G cdot Msr2
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Passo 5

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
v1 = 4,0 times 10^4 , m/s r1 = 4,0 times 10^10 , m r2 = 2,0 times 10^10 , m G cdot Ms = 1,33 times 10^20 , Nm^2/kg
Substituindo na fórmula:
v2 = raiz(4,0 times 10^4)^2 - 2 times 1,33 times 10^204,0 times 10^10 + 2 times 1,33 times 10^202,0 times 10^10
Calculando cada termo:
(4,0 times 10^4)^2 = 1,6 times 10^9 2 times 1,33 times 10^204,0 times 10^10 = 6,65 times 10^9 2 times 1,33 times 10^202,0 times 10^10 = 1,33 times 10^10
Substituindo de volta:
v2 = raiz1,6 times 10^9 - 6,65 times 10^9 + 1,33 times 10^10 v2 = raiz1,6 times 10^9 - 6,65 times 10^9 + 13,3 times 10^9 v2 = raiz8,25 times 10^9 v2 approx 9,08 times 10^4 , m/s

Resposta

A velocidade do cometa quando a distância ao centro do Sol é é aproximadamente .

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