Uma espaçonave orbita a Lua a uma altura de 60 km . Determine a velocidade tangencial da espaçonave para manter essa órbita. ( RL=1740 km ; ML=7,35 times 10^22 kg ).

Passo 1

Beleza, o enunciado pergunta qual é a velocidade tangencial que uma espaçonave precisa ter para orbitar a Lua a uma altura de 60 km. Vamos usar conhecimentos de física orbital, especificamente a relação entre a força gravitacional e a força centrípeta para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para que a espaçonave mantenha uma órbita estável, a força gravitacional que a Lua exerce sobre ela deve ser igual à força centrípeta necessária para mantê-la na trajetória circular.

Passo 3

A força gravitacional é dada pela fórmula:
Fg = G cdot ML cdot mr^2
Onde:
  • Fc = m cdot v^2r é a constante gravitacional ( ),
  • é a massa da Lua ( ),
  • é a massa da espaçonave,
  • é a distância do centro da Lua até a espaçonave.
A força centrípeta necessária para manter a órbita é:
Onde é a velocidade tangencial da espaçonave.

Passo 4

Igualando as duas forças para manter a órbita:
G cdot ML cdot mr^2 = m cdot v^2r
Podemos simplificar cancelando G cdot MLr = v^2 e multiplicando ambos os lados por v = raizG cdot MLr :
Assim, a velocidade tangencial é:

Passo 5

Vamos calcular r = RL + h = 1740 , km + 60 , km = 1800 , km = 1.800.000 , m primeiro, que é a soma do raio da Lua e a altura da órbita:
v = raiz6,67430 times 10^-11 , m^3,kg^-1,s^-2 times 7,35 times 10^22 , kg1.800.000 , m
Agora, substituindo os valores na fórmula da velocidade:

Passo 6

Vamos resolver a parte de baixo da raiz:
6,67430 times 10^-11 times 7,35 times 10^221.800.000 = 4,913 times 10^121.800.000 approx 2,7283 times 10^6
Agora, tirando a raiz quadrada:
v = raiz2,7283 times 10^6 approx 1651 , m/s

Resposta

A velocidade tangencial necessária para manter a órbita é aproximadamente 1,65 km/s.

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