Uma espaçonave orbita a Lua a uma altura de 60 km . Determine a velocidade tangencial da espaçonave para manter essa órbita. (
).
Passo 1
Beleza, o enunciado pergunta qual é a velocidade tangencial que uma espaçonave precisa ter para orbitar a Lua a uma altura de 60 km. Vamos usar conhecimentos de física orbital, especificamente a relação entre a força gravitacional e a força centrípeta para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para que a espaçonave mantenha uma órbita estável, a força gravitacional que a Lua exerce sobre ela deve ser igual à força centrípeta necessária para mantê-la na trajetória circular.
Passo 3
A força gravitacional é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa da Lua ( ), -
é a massa da espaçonave, -
é a distância do centro da Lua até a espaçonave.
A força centrípeta necessária para manter a órbita é:
Onde
é a velocidade tangencial da espaçonave.
Passo 4
Igualando as duas forças para manter a órbita:
Podemos simplificar cancelando
e multiplicando ambos os lados por
:
Assim, a velocidade tangencial
é:
Passo 5
Vamos calcular
primeiro, que é a soma do raio da Lua e a altura da órbita:
Agora, substituindo os valores na fórmula da velocidade:
Passo 6
Vamos resolver a parte de baixo da raiz:
Agora, tirando a raiz quadrada:
Resposta
A velocidade tangencial necessária para manter a órbita é aproximadamente 1,65 km/s.