Uma esfera e um cilindro, tendo ambos a mesma massa e o mesmo raio, partem do repouso e rolam para baixo em um mesmo plano inclinado. (a) Qual dos dois corpos chega primeiro à base do plano, se ambos saíram juntos da mesma posição? (b) Qual dos corpos tem maior energia de rotação na base do plano? © Qual dos corpos tem maior energia de translação na base do plano? Resp: (a) A esfera; (b) O cilindro; © A esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera e um cilindro que têm a mesma massa e raio, e estão rolando sem deslizar por um plano inclinado. Precisamos descobrir:
a) Qual chega primeiro à base?
b) Qual tem maior energia de rotação na base?
c) Qual tem maior energia de translação na base?
b) Qual tem maior energia de rotação na base?
c) Qual tem maior energia de translação na base?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica rotacional, como momento de inércia, energia cinética de rotação e energia cinética de translação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é para o objeto começar a girar.
As fórmulas do momento de inércia para nossos objetos são:
- Esfera sólida:
- Cilindro sólido:
Como podemos ver, o cilindro tem um momento de inércia maior que a esfera.
Passo 3
Quando os objetos rolarem pelo plano inclinado, parte da energia potencial gravitacional será convertida em energia cinética de translação (movimento para baixo) e em energia cinética de rotação (giro).
A energia cinética total (
) é a soma dessas duas:
Onde:
-
é a massa, -
é a velocidade de translação, -
é o momento de inércia, -
é a velocidade angular.
Como os objetos estão rolando sem deslizar, a relação entre
e
é:
Passo 4
Vamos analisar a aceleração dos objetos. A aceleração (
) no plano inclinado depende do momento de inércia:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade, -
é o ângulo do plano inclinado.
Observando as fórmulas do momento de inércia:
- Para a esfera:
- Para o cilindro:
Como
, a esfera tem uma aceleração maior que o cilindro.
Passo 5
Com uma aceleração maior, a esfera vai acelerar mais rapidamente e, consequentemente, chegará primeiro à base do plano inclinado.
Agora, vamos para as energias na base do plano.
Passo 6
A energia de rotação (
) é dada por:
Comparando os momentos de inércia:
- Cilindro tem um
maior, então será maior para o cilindro.
Passo 7
A energia de translação (
) é:
Como a esfera chegou primeiro, ela teve uma velocidade maior (
maior). Além disso, a esfera tem um momento de inércia menor, o que significa que menos energia foi destinada à rotação e mais para a translação.
Resposta
(a) A esfera chega primeiro à base do plano;
(b) O cilindro tem maior energia de rotação na base do plano;
© A esfera tem maior energia de translação na base do plano.
(b) O cilindro tem maior energia de rotação na base do plano;
© A esfera tem maior energia de translação na base do plano.