Uma roldana de raio igual a 10 cm tem momento de inércia igual a 1,0 times 10^4 g cdot cm^2. Sobre a periferia da roldana é aplicada uma força tangencial que varia no tempo, dada por F(t)=(0,5 N / s) t+(0,3 N / s^2) t^2, onde F está expresso em newtons e t em segundos. Calcule a velocidade angular da roldana após 3,0 s, supondo que ela está inicialmente em repouso. Resp: omega=4,95 times 10^2 rad / s.

Passo 1

Beleza, bora resolver esse problema juntos! Temos uma roldana com raio de 10 cm e um momento de inércia de 1,0 times 10^4 , g cdot cm^2. Uma força tangencial é aplicada na periferia da roldana e varia com o tempo, dada por F(t) = (0,5 , N/s) cdot t + (0,3 , N/s^2) cdot t^2. Precisamos calcular a velocidade angular da roldana após 3 segundos, considerando que ela começa parada. Vamos usar conceitos de torque, momento de inércia e dinâmica rotacional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é torque. Torque é a força que causa a rotação de um objeto e é calculado pela fórmula:
tau = F cdot r
onde tau é o torque, F é a força aplicada e r é o raio da roldana. Aqui, o raio r = 10 , cm = 0,10 , m.

Passo 3

Como a força varia com o tempo, o torque também será uma função de t:
tau(t) = F(t) cdot r = (0,5 cdot t + 0,3 cdot t^2) cdot r
Substituindo r = 0,10 , m:
tau(t) = (0,5 cdot t + 0,3 cdot t^2) cdot 0,10
tau(t) = 0,05 cdot t + 0,03 cdot t^2

Passo 4

Agora, vamos usar a relação entre torque, momento de inércia ( I) e aceleração angular ( alpha):
tau(t) = I cdot alpha(t)
Queremos encontrar a velocidade angular omega após 3 segundos. Sabendo que alpha(t) é a derivada de omega(t) em relação ao tempo, podemos integrar a aceleração angular para encontrar a velocidade:
omega(t) = integral alpha(t) , dt = integral tau(t)I , dt

Passo 5

Precisamos garantir que as unidades estejam consistentes. O momento de inércia dado está em $ g \cdot cm^2 $, mas a força está em Newtons e o raio em metros. Vamos converter g cdot cm^2 para $ kg \cdot m^2 $:
I

Passo 6

Agora, substituímos tau(t) e I na expressão para omega(t):
omega(t) = integral 0,05 cdot t + 0,03 cdot t^21,0 times 10^-3 , dt
omega(t) = integral (50 cdot t + 30 cdot t^2) , dt
omega(t) = 50 cdot t^22 + 30 cdot t^33 + C
omega(t) = 25 cdot t^2 + 10 cdot t^3 + C
Aqui, C é a constante de integração. Como a roldana começa em repouso ( omega(0) = 0), C = 0.

Passo 7

Agora, substituímos t = 3 segundos para encontrar omega(3):
omega(3) = 25 cdot (3)^2 + 10 cdot (3)^3
omega(3) = 25 cdot 9 + 10 cdot 27
omega(3) = 225 + 270
omega(3) = 495 , rad/s

Resposta

omega = 4,95 times 10^2 , rad/s

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