Uma roldana de raio igual a 10 cm tem momento de inércia igual a
. Sobre a periferia da roldana é aplicada uma força tangencial que varia no tempo, dada por
, onde
está expresso em newtons e
em segundos. Calcule a velocidade angular da roldana após
, supondo que ela está inicialmente em repouso. Resp:
.
Passo 1
Beleza, bora resolver esse problema juntos! Temos uma roldana com raio de 10 cm e um momento de inércia de
. Uma força tangencial é aplicada na periferia da roldana e varia com o tempo, dada por
. Precisamos calcular a velocidade angular da roldana após 3 segundos, considerando que ela começa parada. Vamos usar conceitos de torque, momento de inércia e dinâmica rotacional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é torque. Torque é a força que causa a rotação de um objeto e é calculado pela fórmula:
onde
é o torque,
é a força aplicada e
é o raio da roldana. Aqui, o raio
.
Passo 3
Como a força varia com o tempo, o torque também será uma função de
:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos usar a relação entre torque, momento de inércia (
) e aceleração angular (
):
Queremos encontrar a velocidade angular
após 3 segundos. Sabendo que
é a derivada de
em relação ao tempo, podemos integrar a aceleração angular para encontrar a velocidade:
Passo 5
Precisamos garantir que as unidades estejam consistentes. O momento de inércia dado está em $ g \cdot cm^2 $, mas a força está em Newtons e o raio em metros. Vamos converter
para $ kg \cdot m^2 $:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na expressão para
:
Aqui,
é a constante de integração. Como a roldana começa em repouso (
),
.
Passo 7
Agora, substituímos
segundos para encontrar
: