- Um ioiô é formado por dois discos uniformes de raio
e massa combinada
. O eixo leve que liga os discos tem raio
muito pequeno. Um barbante, de comprimento (
), é enrolado em torno do eixo várias vezes por um exímio jogador, que solta o ioiô com velocidade inicial nula. Suponha que o barbante esteja na vertical todas as vezes em que o ioiô desce e sobe. (a) Qual é a tensão no barbante durante a descida (ou subida) do ioiô? (b) Qual o tempo necessário para que o ioiô retorne às mãos do jogador? Resp: (a)
; (b)
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um ioiô formado por dois discos de raio
e massa total
, conectado por um eixo de raio muito pequeno
. Um barbante de comprimento
está enrolado no eixo, e o ioiô é solto sem velocidade inicial. Precisamos encontrar:
(a) A tensão no barbante durante a descida ou subida do ioiô.
(b) O tempo necessário para que o ioiô volte para as mãos do jogador.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e mecânica linear, além de entender como torque e aceleração estão relacionados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o ioiô está sujeito à força da gravidade que puxa para baixo e à tensão
no barbante que puxa para cima. Como o ioiô está girando enquanto desce, precisamos considerar não apenas a força linear, mas também o torque que causa a rotação.
Passo 3
A força resultante que causa a aceleração linear do ioiô é a diferença entre a força da gravidade e a tensão no barbante. Isso pode ser representado pela segunda lei de Newton:
Aqui,
é a aceleração linear do centro de massa do ioiô.
Passo 4
Além disso, a rotação do ioiô está relacionada ao torque causado pela tensão no barbante. O torque (
) é dado por:
Onde
é o raio do eixo.
A relação entre torque, momento de inércia (
) e aceleração angular (
) é:
Passo 5
O momento de inércia para dois discos de massa
e raio
cada um é:
A aceleração angular (
) está relacionada com a aceleração linear (
) pela relação:
Passo 6
Substituindo
e
na equação do torque:
Simplificando:
Passo 7
Agora, voltamos à equação da segunda lei de Newton:
Substituindo
da equação anterior:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Fatorando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta na equação para
:
Simplificando:
Resposta
(a) A tensão no barbante durante a descida (ou subida) do ioiô é:
(b) O tempo necessário para que o ioiô retorne às mãos do jogador é: