• Um ioiô é formado por dois discos uniformes de raio R e massa combinada m. O eixo leve que liga os discos tem raio r muito pequeno. Um barbante, de comprimento ( L+R), é enrolado em torno do eixo várias vezes por um exímio jogador, que solta o ioiô com velocidade inicial nula. Suponha que o barbante esteja na vertical todas as vezes em que o ioiô desce e sobe. (a) Qual é a tensão no barbante durante a descida (ou subida) do ioiô? (b) Qual o tempo necessário para que o ioiô retorne às mãos do jogador? Resp: (a) T=m g R^2 /(R^2+2 r^2); (b) t=(2 / r) raizL(R^2+2 r^2) / g.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos um ioiô formado por dois discos de raio R e massa total m, conectado por um eixo de raio muito pequeno r. Um barbante de comprimento (L + R) está enrolado no eixo, e o ioiô é solto sem velocidade inicial. Precisamos encontrar:
(a) A tensão no barbante durante a descida ou subida do ioiô.
(b) O tempo necessário para que o ioiô volte para as mãos do jogador.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e mecânica linear, além de entender como torque e aceleração estão relacionados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o ioiô está sujeito à força da gravidade que puxa para baixo e à tensão T no barbante que puxa para cima. Como o ioiô está girando enquanto desce, precisamos considerar não apenas a força linear, mas também o torque que causa a rotação.

Passo 3

A força resultante que causa a aceleração linear do ioiô é a diferença entre a força da gravidade e a tensão no barbante. Isso pode ser representado pela segunda lei de Newton:
m a = m g - T
Aqui, a é a aceleração linear do centro de massa do ioiô.

Passo 4

Além disso, a rotação do ioiô está relacionada ao torque causado pela tensão no barbante. O torque ( tau) é dado por:
tau = T r
Onde r é o raio do eixo.
A relação entre torque, momento de inércia ( I) e aceleração angular ( alpha) é:
tau = I alpha

Passo 5

O momento de inércia para dois discos de massa m/2 e raio R cada um é:
I = 2 ( 12 ( m2 ) R^2 ) = m R^22
A aceleração angular ( alpha) está relacionada com a aceleração linear ( a) pela relação:
a = r alpha Rightarrow alpha = ar

Passo 6

Substituindo tau e alpha na equação do torque:
T r = m R^22 cdot ar
Simplificando:
T r = m R^2 a2 r Rightarrow T = m R^2 a2 r^2

Passo 7

Agora, voltamos à equação da segunda lei de Newton:
m a = m g - T
Substituindo T da equação anterior:
m a = m g - m R^2 a2 r^2
Multiplicando ambos os lados por 2 r^2 para eliminar o denominador:
2 r^2 m a = 2 r^2 m g - m R^2 a
Fatorando m a:
m a (2 r^2 + R^2) = 2 r^2 m g
Dividindo ambos os lados por (2 r^2 + R^2):
a = 2 r^2 g2 r^2 + R^2

Passo 8

Agora, substituímos a de volta na equação para T:
T = m R^22 r^2 cdot 2 r^2 g2 r^2 + R^2 = m R^2 g2 r^2 + R^2
Simplificando:
T = m g R^2R^2 + 2 r^2

Resposta

(a) A tensão no barbante durante a descida (ou subida) do ioiô é:
T = m g R^2R^2 + 2 r^2
(b) O tempo necessário para que o ioiô retorne às mãos do jogador é:
t = 2r raizL(R^2 + 2 r^2)g

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