Uma esfera feita de um material isolante possui um raio
e uma densic volumétrica de carga
.a) Calcule o valor do campo elétrico a uma distância de
do seu centro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera isolante com raio
e uma densidade volumétrica de carga
. O que queremos descobrir é o campo elétrico
a uma distância de
do centro da esfera. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos em situações com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. Sabemos que:
Passo 3
Como a distância
é menor que o raio da esfera
, estamos calculando o campo dentro da esfera. Para isso, usamos a Lei de Gauss considerando uma superfície gaussiana esférica com raio
.
Passo 4
A Lei de Gauss nos diz que:
Como a esfera tem simetria esférica, o campo elétrico
é radial e de mesmo módulo em toda a superfície gaussiana. Assim, a integral de superfície simplifica para:
Passo 5
Vamos calcular a carga interna
. Como a densidade de carga é uniforme, a carga dentro do raio
é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação da Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, substituímos os valores numéricos. Sabemos que a constante de permissividade do vácuo é:
Portanto:
Resposta
O campo elétrico a uma distância de
do centro da esfera é aproximadamente
.