(a) Write an expression for the electric charge density
of a point charge
at
. Make sure that the volume integral of
equals
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos escrever uma expressão para a densidade de carga elétrica, denotada por
, de uma carga pontual
localizada no ponto
. Além disso, devemos garantir que a integral da densidade de carga sobre todo o volume seja igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de densidade de carga e função delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de carga
descreve como a carga elétrica está distribuída no espaço. Para uma carga pontual, a carga está concentrada em um único ponto no espaço, ou seja, toda a carga
está localizada exatamente em
.
Passo 3
Para representar matematicamente essa concentração de carga em um único ponto, usamos a função delta de Dirac,
. A função delta tem a propriedade de ser zero em todos os pontos exceto em
, onde ela “explode” de forma que sua integral sobre todo o espaço seja igual a 1.
Passo 4
Multiplicando a função delta pela carga
, obtemos a densidade de carga para uma carga pontual:
Isso significa que a carga
está totalmente concentrada no ponto
.
Passo 5
Para verificar se essa expressão satisfaz a condição de que a integral da densidade de carga seja igual a
, calculamos:
Isso confirma que a integral da densidade de carga sobre todo o volume realmente resulta em
.
Resposta
A densidade de carga elétrica da carga pontual
localizada em
é dada por: