(a) Write an expression for the electric charge density rho(r) of a point charge q at r^prime. Make sure that the volume integral of rho equals q.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos escrever uma expressão para a densidade de carga elétrica, denotada por , de uma carga pontual localizada no ponto . Além disso, devemos garantir que a integral da densidade de carga sobre todo o volume seja igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de densidade de carga e função delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de carga descreve como a carga elétrica está distribuída no espaço. Para uma carga pontual, a carga está concentrada em um único ponto no espaço, ou seja, toda a carga está localizada exatamente em .

Passo 3

Para representar matematicamente essa concentração de carga em um único ponto, usamos a função delta de Dirac, . A função delta tem a propriedade de ser zero em todos os pontos exceto em , onde ela “explode” de forma que sua integral sobre todo o espaço seja igual a 1.

Passo 4

Multiplicando a função delta pela carga rho(r) = q , de, obtemos a densidade de carga para uma carga pontual:
Isso significa que a carga está totalmente concentrada no ponto .

Passo 5

Para verificar se essa expressão satisfaz a condição de que a integral da densidade de carga seja igual a integral rho(r) , dV = integral q , de, calculamos:
Isso confirma que a integral da densidade de carga sobre todo o volume realmente resulta em .

Resposta

A densidade de carga elétrica da carga pontual rho(r) = q , de localizada em é dada por:

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