Evaluate the following integrals:
, where is a sphere of radius 6 about the origin, , and is its magnitude.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para calcularmos uma integral sobre um volume que é uma esfera de raio 6, centrada na origem. A função que vamos integrar envolve termos com o vetor posição r, um vetor constante c e a função delta de Dirac em três dimensões, δ³(r - c). Para resolver isso, vamos precisar entender como a função delta funciona em integrais e aplicar isso ao contexto dado.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar o que é a função delta de Dirac, δ³(r - c). Essa função é como uma “agulha” que “captura” o valor de uma função quando r é igual a c. Ou seja, quando integramos uma função multiplicada pela delta de Dirac, o resultado é simplesmente o valor da função naquele ponto específico c, desde que c esteja dentro do domínio de integração.
Matematicamente, isso é representado por:
desde que c esteja dentro de V.

Passo 3

Agora, vamos analisar se o ponto c está dentro do volume V. Temos o vetor c = 5i + 3j + 2k, e precisamos calcular a magnitude de c para ver se ele está dentro da esfera de raio 6.
A magnitude de c é:
Como 6,16 é maior que 6, o ponto c está fora da esfera V.

Passo 4

Já que o ponto c está fora do volume de integração V, a função delta de Dirac δ³(r - c) será zero em todo o domínio de integração. Portanto, a integral do zero sobre qualquer volume será zero.

Resposta

O valor da integral é 0.

Exercícios relacionados

Um corpo de silício do tipo em temperatura ambiente está sujeito a um campo elétrico de intensidade igual a , direção horizontal e sentido da esquerda para a direita.
a) Determine a velocidade média de elétrons e de lacunas no material.
b) Assumindo que a concentração de lacunas no material é desprezível, determine a concentração de elétrons correspondente a uma densidade de corrente elétrica de intensidade igual a . Verifique se a consideração sobre a concentração de lacunas é razoável.
Considere os seguintes parâmetros:
  • - mobilidade elétrica do elétron no silício.
  • - mobilidade elétrica da lacuna no silício.
  • - concentração intrínseca de elétrons no silício à temperatura ambiente.
A concentração intrínseca de portadores do germânio é dada pela seguinte expressão:
Onde:
  • - temperatura da substância em kelvin.
  • - energia de bandgap da substância.
  • - constante de Boltzmann.
    A partir destas informações, determine:
    a) A concentração íntrinseca do germânio em temperatura ambiente ( ).
    b) As concentrações de elétrons e lacunas no germânio extrínseco em temperatura ambiente, quando este é dopado com impurezas doadoras (Família 5A) com concentração .
(a) Write an expression for the electric charge density of a point charge at . Make sure that the volume integral of equals .
Uma esfera feita de um material isolante possui um raio e uma densic volumétrica de carga .a) Calcule o valor do campo elétrico a uma distância de do seu centro.