Evaluate the following integrals:
, where
is a sphere of radius 6 about the origin,
, and
is its magnitude.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para calcularmos uma integral sobre um volume que é uma esfera de raio 6, centrada na origem. A função que vamos integrar envolve termos com o vetor posição r, um vetor constante c e a função delta de Dirac em três dimensões, δ³(r - c). Para resolver isso, vamos precisar entender como a função delta funciona em integrais e aplicar isso ao contexto dado.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar o que é a função delta de Dirac, δ³(r - c). Essa função é como uma “agulha” que “captura” o valor de uma função quando r é igual a c. Ou seja, quando integramos uma função multiplicada pela delta de Dirac, o resultado é simplesmente o valor da função naquele ponto específico c, desde que c esteja dentro do domínio de integração.
Matematicamente, isso é representado por:
desde que c esteja dentro de V.
Passo 3
Agora, vamos analisar se o ponto c está dentro do volume V. Temos o vetor c = 5i + 3j + 2k, e precisamos calcular a magnitude de c para ver se ele está dentro da esfera de raio 6.
A magnitude de c é:
Como 6,16 é maior que 6, o ponto c está fora da esfera V.
Passo 4
Já que o ponto c está fora do volume de integração V, a função delta de Dirac δ³(r - c) será zero em todo o domínio de integração. Portanto, a integral do zero sobre qualquer volume será zero.
Resposta
O valor da integral é 0.