Esfera Isolante. Uma carga é distribuída uniformemente ao longo de uma esfera isolante de raio . Determinar o potencial elétrico para (a) todos os pontos no exterior da esfera (b) todos os pontos no interior da esfera .
Resp: a) q/4 (b)q(

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma esfera isolante com carga elétrica +q distribuída de forma uniforme ao longo dela. O raio dessa esfera é R. Nosso objetivo é determinar o potencial elétrico em dois casos:
a) Para todos os pontos fora da esfera
b) Para todos os pontos dentro da esfera
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico e potencial elétrico na eletrostática, além das leis de Gauss para encontrar as expressões necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico em um ponto é relacionado ao campo elétrico pela relação:
Isso significa que para encontrar o potencial, precisamos integrar o campo elétrico.

Passo 3

Começando com o caso externo :
Para uma esfera carregada de forma uniforme, pelo teorema de Gauss, o campo elétrico fora da esfera é equivalente ao de uma carga pontual localizada no centro da esfera. Assim, o campo elétrico para é dado por:
Onde:
  • é a carga total,
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a distância do centro da esfera.

Passo 4

Agora, vamos calcular o potencial elétrico para . Integrando o campo elétrico:
Substituindo :
Integrando:

Passo 5

Agora, vamos para o caso interno :
Dentro da esfera, a carga está distribuída uniformemente. Pelo teorema de Gauss, o campo elétrico dentro da esfera varia linearmente com a distância do centro. A expressão para dentro da esfera é:

Passo 6

Para encontrar o potencial dentro da esfera, integramos o campo elétrico desde o ponto até a superfície e somamos ao potencial na superfície:
Sabemos que , então substituindo :
Integrando:

Resposta

a) Para pontos externos :
b) Para pontos internos :

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