Esfera Isolante. Uma carga +q é distribuída uniformemente ao longo de uma esfera isolante de raio R. Determinar o potencial elétrico para (a) todos os pontos no exterior da esfera (r>R) (b) todos os pontos no interior da esfera (r.
Resp: a) q/4 4 varepsilon0 r (b)q( 3 R^2-r^2) / 8 pi varepsilon0 R^3

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma esfera isolante com carga elétrica +q distribuída de forma uniforme ao longo dela. O raio dessa esfera é R. Nosso objetivo é determinar o potencial elétrico em dois casos:
a) Para todos os pontos fora da esfera
b) Para todos os pontos dentro da esfera
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico e potencial elétrico na eletrostática, além das leis de Gauss para encontrar as expressões necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V = -integral E cdot dr em um ponto é relacionado ao campo elétrico pela relação:
Isso significa que para encontrar o potencial, precisamos integrar o campo elétrico.

Passo 3

Começando com o caso externo E = q4pivarepsilon0 r^2 :
Para uma esfera carregada de forma uniforme, pelo teorema de Gauss, o campo elétrico fora da esfera é equivalente ao de uma carga pontual localizada no centro da esfera. Assim, o campo elétrico para é dado por:
Onde:
  • é a carga total,
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a distância do centro da esfera.

Passo 4

Agora, vamos calcular o potencial elétrico V(r) = -integralinfty^r E , dr para V(r) = -integralinfty^r q4pivarepsilon0 r'^2 , dr' . Integrando o campo elétrico:
V(r) = q4pivarepsilon0 r
Substituindo :
Integrando:

Passo 5

Agora, vamos para o caso interno E = q r4pivarepsilon0 R^3 :
Dentro da esfera, a carga está distribuída uniformemente. Pelo teorema de Gauss, o campo elétrico dentro da esfera varia linearmente com a distância do centro. A expressão para dentro da esfera é:

Passo 6

Para encontrar o potencial V(r) = V(R) - integralr^R E , dr' dentro da esfera, integramos o campo elétrico desde o ponto V(r) = q4pivarepsilon0 R - integralr^R q r'4pivarepsilon0 R^3 , dr' até a superfície V(r) = q4pivarepsilon0 R - q4pivarepsilon0 R^3 [ r'^22 ]r^R e somamos ao potencial na superfície:
V(r) = q4pivarepsilon0 R - q8pivarepsilon0 R^3 (R^2 - r^2)
Sabemos que V(r) = q4pivarepsilon0 R - q8pivarepsilon0 R + q r^28pivarepsilon0 R^3 , então substituindo V(r) = q8pivarepsilon0 R (2 - 1 + r^2R^2) :
V(r) = q8pivarepsilon0 R^3 (3R^2 - r^2)
Integrando:

Resposta

a) Para pontos externos V(r) = q4pivarepsilon0 r :
V(r) = q (3R^2 - r^2)8pivarepsilon0 R^3
b) Para pontos internos :

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