Esfera Isolante. Uma carga
é distribuída uniformemente ao longo de uma esfera isolante de raio
. Determinar o potencial elétrico para (a) todos os pontos no exterior da esfera
(b) todos os pontos no interior da esfera
.
Resp: a) q/4
(b)q(
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma esfera isolante com carga elétrica +q distribuída de forma uniforme ao longo dela. O raio dessa esfera é R. Nosso objetivo é determinar o potencial elétrico em dois casos:
a) Para todos os pontos fora da esfera
b) Para todos os pontos dentro da esfera
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico e potencial elétrico na eletrostática, além das leis de Gauss para encontrar as expressões necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico
em um ponto é relacionado ao campo elétrico
pela relação:
Isso significa que para encontrar o potencial, precisamos integrar o campo elétrico.
Passo 3
Começando com o caso externo
:
Para uma esfera carregada de forma uniforme, pelo teorema de Gauss, o campo elétrico fora da esfera é equivalente ao de uma carga pontual
localizada no centro da esfera. Assim, o campo elétrico
para
é dado por:
Onde:
-
é a carga total, -
é a permissividade do vácuo, -
é a distância do centro da esfera.
Passo 4
Agora, vamos calcular o potencial elétrico
para
. Integrando o campo elétrico:
Substituindo
:
Integrando:
Passo 5
Agora, vamos para o caso interno
:
Dentro da esfera, a carga está distribuída uniformemente. Pelo teorema de Gauss, o campo elétrico dentro da esfera varia linearmente com a distância do centro. A expressão para
dentro da esfera é:
Passo 6
Para encontrar o potencial
dentro da esfera, integramos o campo elétrico desde o ponto
até a superfície
e somamos ao potencial na superfície:
Sabemos que
, então substituindo
:
Integrando:
Resposta
a) Para pontos externos
:
b) Para pontos internos
: