Calcular o campo gravitacional produzido por uma camada fina de matéria distribuida sobre um plano infinito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o campo gravitacional gerado por uma camada fininha de matéria distribuída em um plano infinito. Isso está relacionado ao estudo da Gravitação na Física, mais especificamente ao campo gravitacional. Para resolver, vamos precisar usar a Lei da Gravitação de Newton e entender como o campo se comporta em distribuições infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação de Newton, que nos diz que o campo gravitacional devido a uma massa é dado por:
onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa que está gerando o campo,
  • é a distância do ponto onde queremos calcular o campo até a massa,
  • é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

No caso de uma camada infinita de matéria, temos uma distribuição contínua de massa. Em vez de uma massa pontual, vamos considerar uma densidade superficial (massa por unidade de área). Para facilitar, imaginemos que estamos calculando o campo em um ponto a uma distância do plano.

Passo 4

Devido à infinidade do plano, a simetria do problema nos diz que o campo gravitacional vai ser perpendicular ao plano e terá a mesma magnitude em todos os pontos a mesma distância de . Isso simplifica bastante nosso cálculo.

Passo 5

Vamos usar o conceito de integração para somar as contribuições de todas as pequenas partes da camada. O campo gravitacional total será a integral do campo devido a cada elemento de massa .

Passo 6

A densidade superficial é definida como , onde é um elemento de área. Assim, .

Passo 7

Para calcular o campo devido a um elemento de área localizado a uma distância do ponto onde estamos calculando o campo, usamos a expressão da Lei da Gravitação:

Passo 8

Como o plano é infinito e simétrico, ao integrar, as componentes horizontais dos campos se cancelam, restando apenas a componente vertical. Assim, podemos simplificar nossa integral considerando apenas as direções perpendiculares.

Passo 9

Após integrar todas as contribuições, encontramos que o campo gravitacional devido a uma camada infinita de massa é constante e não depende da distância . A expressão final fica:

Resposta

O campo gravitacional produzido por uma camada fina de matéria distribuída sobre um plano infinito é constante e igual a .

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