Uma partícula de massa m se move no eixo O z sob a atração gravitacional de um disco circular uniforme de massa M e raio a. O campo de força F(z) atuando sobre a partícula é dado por
F=-2 m M Ga[1-z(a^2+z^2)^1 / 2], z>0
  • Calcular a energia potencial U(z) correspondente para z>0.
  • Inicialmente, a partícula é liberada do repouso no ponto z=4 a / 3. Encontre a velocidade da partícula quando ela atinge o disco.

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos uma partícula de massa m que se move ao longo do eixo Oz sob a atração gravitacional de um disco circular uniforme de massa M e raio a. Precisamos calcular a energia potencial U(z) para z > 0 e, depois, encontrar a velocidade da partícula quando ela atinge o disco, partindo do repouso em z = 4a3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força e energia potencial em mecânica clássica, além da conservação de energia.

Passo 2

A energia potencial gravitacional U(z) está relacionada com a força F(z) pela relação:
F(z) = -dUdz
Para encontrar U(z), precisamos integrar a força em relação a z.

Passo 3

Vamos integrar a força para obter a energia potencial:
U(z) = -integral F(z) , dz + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Substituindo a expressão de F(z) na integral:
U(z) = -integral ( -2 m M Ga[1 - zraiza^2 + z^2] ) dz + C
Simplificando:
U(z) = 2 m M Ga integral [1 - zraiza^2 + z^2] dz + C

Passo 5

Resolvendo a integral:
integral [1 - zraiza^2 + z^2] dz = integral 1 , dz - integral zraiza^2 + z^2 dz
A primeira parte é simples:
integral 1 , dz = z
Para a segunda parte, fazemos a substituição u = a^2 + z^2, então du = 2z , dz e:
integral zraiza^2 + z^2 dz = 12 integral duraizu = raiza^2 + z^2

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da energia potencial:
U(z) = 2 m M Ga ( z - raiza^2 + z^2 ) + C
Para determinar a constante C, podemos escolher que U(z) = 0 quando z to infty. Nesse caso, C = 0.

Passo 7

Portanto, a energia potencial fica:
U(z) = 2 m M Ga ( z - raiza^2 + z^2 )

Passo 8

Agora, usamos a conservação de energia. A energia mecânica total no início é igual à energia mecânica total no final:
Uinicial + Kinicial = Ufinal + Kfinal
Como a partícula parte do repouso, Kinicial = 0.

Passo 9

Substituindo:
U(4a3) = U(0) + 12 m v^2
Queremos encontrar v quando z = 0.

Passo 10

Calculando U(4a3):
U(4a3) = 2 m M Ga ( 4a3 - raiza^2 + (4a3)^2 ) = 2 m M Ga ( 4a3 - 5a3 ) = -2 m M G3
Calculando U(0):
U(0) = 2 m M Ga (0 - a) = -2 m M G

Passo 11

Substituindo na conservação de energia:
-2 m M G3 = -2 m M G + 12 m v^2
Resolvendo para v:
12 m v^2 = 4 m M G3 Rightarrow v^2 = 8 M G3 Rightarrow v = raiz8 M G3

Resposta

A velocidade da partícula ao atingir o disco é v = raizdfrac8 M G3.

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