Uma partícula de massa se move no eixo sob a atração gravitacional de um disco circular uniforme de massa e raio . O campo de força atuando sobre a partícula é dado por
  • Calcular a energia potencial correspondente para .
  • Inicialmente, a partícula é liberada do repouso no ponto . Encontre a velocidade da partícula quando ela atinge o disco.

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos uma partícula de massa que se move ao longo do eixo sob a atração gravitacional de um disco circular uniforme de massa e raio . Precisamos calcular a energia potencial para e, depois, encontrar a velocidade da partícula quando ela atinge o disco, partindo do repouso em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de força e energia potencial em mecânica clássica, além da conservação de energia.

Passo 2

A energia potencial gravitacional está relacionada com a força pela relação:
Para encontrar , precisamos integrar a força em relação a .

Passo 3

Vamos integrar a força para obter a energia potencial:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Substituindo a expressão de na integral:
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo a integral:
A primeira parte é simples:
Para a segunda parte, fazemos a substituição , então e:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da energia potencial:
Para determinar a constante , podemos escolher que quando . Nesse caso, .

Passo 7

Portanto, a energia potencial fica:

Passo 8

Agora, usamos a conservação de energia. A energia mecânica total no início é igual à energia mecânica total no final:
Como a partícula parte do repouso, .

Passo 9

Substituindo:
Queremos encontrar quando .

Passo 10

Calculando :
Calculando :

Passo 11

Substituindo na conservação de energia:
Resolvendo para :

Resposta

A velocidade da partícula ao atingir o disco é .

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