Uma partícula de massa se move no eixo sob a atração gravitacional de um disco circular uniforme de massa e raio . O campo de força atuando sobre a partícula é dado por
Calcular a energia potencial correspondente para .
Inicialmente, a partícula é liberada do repouso no ponto . Encontre a velocidade da partícula quando ela atinge o disco.
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Temos uma partícula de massa que se move ao longo do eixo sob a atração gravitacional de um disco circular uniforme de massa e raio . Precisamos calcular a energia potencial para e, depois, encontrar a velocidade da partícula quando ela atinge o disco, partindo do repouso em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de força e energia potencial em mecânica clássica, além da conservação de energia.
Passo 2
A energia potencial gravitacional está relacionada com a força pela relação:
Para encontrar , precisamos integrar a força em relação a .
Passo 3
Vamos integrar a força para obter a energia potencial:
Onde é a constante de integração.
Passo 4
Substituindo a expressão de na integral:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo a integral:
A primeira parte é simples:
Para a segunda parte, fazemos a substituição , então e:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da energia potencial:
Para determinar a constante , podemos escolher que quando . Nesse caso, .
Passo 7
Portanto, a energia potencial fica:
Passo 8
Agora, usamos a conservação de energia. A energia mecânica total no início é igual à energia mecânica total no final:
Como a partícula parte do repouso, .
Passo 9
Substituindo:
Queremos encontrar quando .
Passo 10
Calculando :
Calculando U(0):
U(0) = 2 m M Ga (0 - a) = -2 m M G
Passo 11
Substituindo na conservação de energia:
-2 m M G3 = -2 m M G + 12 m v^2
Resolvendo para v:
12 m v^2 = 4 m M G3 Rightarrow v^2 = 8 M G3 Rightarrow v = raiz8 M G3
Resposta
A velocidade da partícula ao atingir o disco é v = raizdfrac8 M G3.