Uma esfera isolante de raio
tem uma densidade de carga não-uniforme
, para
, onde
é medida a partir do centro da esfera. Mostre que o campo elétrico dentro da esfera é
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma esfera isolante de raio
com uma densidade de carga que não é uniforme, dada por
, onde
é a distância do centro da esfera. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico
dentro dessa esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetria conhecida. A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
Passo 2
Vamos começar aplicando a Lei de Gauss. Primeiro, escolhemos uma superfície gaussiana que simplifique nossos cálculos. Como a densidade de carga depende apenas de
e a geometria é esférica, vamos escolher uma esfera de raio
(onde
) como nossa superfície gaussiana.
A Lei de Gauss é dada por:
Onde:
-
é o campo elétrico -
é um elemento de área na superfície gaussiana -
é a carga total dentro da superfície -
é a permissividade do vácuo
Passo 3
Como o campo elétrico devido a uma distribuição esférica de carga é radialmente simétrico, podemos dizer que
aponta na direção radial
e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana.
Portanto, o lado esquerdo da Lei de Gauss se simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, a carga total dentro da esfera de raio
. A densidade de carga é dada por
, então a carga infinitesimal em uma camada esférica de espessura
é:
Integrando da distância 0 até
, obtemos:
Passo 5
Substituindo
e o lado esquerdo da Lei de Gauss na equação original:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 6
Resolvendo para
:
Como o campo elétrico é radial, podemos escrever o vetor campo elétrico como:
Resposta
O campo elétrico dentro da esfera é dado por:
Exercícios relacionados
Indique a afirmação correta em ralação às linhas de campo elétrico
a) As linhas de campo elétrico podem se cruzar
b) A concentração das linhas de campo elétrico é maior nas regiões em que o campo é mais intenso;
c) As linhas de campo apontam para longe das cargas negativas.
d) Uma carga pontual liberada a partir do repouso se move ao longo de uma linha de campo
e) Nenhuma das afirmações anteriores está correta
a) As linhas de campo elétrico podem se cruzar
b) A concentração das linhas de campo elétrico é maior nas regiões em que o campo é mais intenso;
c) As linhas de campo apontam para longe das cargas negativas.
d) Uma carga pontual liberada a partir do repouso se move ao longo de uma linha de campo
e) Nenhuma das afirmações anteriores está correta
Uma partícula com uma carga
e 20 g de massa se move a uma velocidade de
em uma órbita circular em torno de uma partícula estacionária com uma carga
, determine o raio da órbita.
O que se pode dizer, se e o momento de um dipolo submetido a um campo elétrico uniforme gira para uma orientação mais próxima da orientação do campo:
a) o trabalho realizado pelo campo é positivo e a energia potencial aumenta.
b) o trabalho realizado pelo campo é positivo e a energia potencial diminui.
c) o trabalho realizado pelo campo é negativo e a energia potencial aumenta.
d) o trabalho realizado pelo campo é negativo e a energia potencial diminui.
e) o campo não realiza trabalho.
a) o trabalho realizado pelo campo é positivo e a energia potencial aumenta.
b) o trabalho realizado pelo campo é positivo e a energia potencial diminui.
c) o trabalho realizado pelo campo é negativo e a energia potencial aumenta.
d) o trabalho realizado pelo campo é negativo e a energia potencial diminui.
e) o campo não realiza trabalho.
(O fluxo elétrico
através de uma superfície
a) é a quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície.
b) é o campo elétrico multiplicado pela área.
c) não depende da área.
d) é a integral de linha do campo elétrico ao longo da borda da superfície.
e) é a quantidade de campo elétrico que tangencia a superfície.
a) é a quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície.
b) é o campo elétrico multiplicado pela área.
c) não depende da área.
d) é a integral de linha do campo elétrico ao longo da borda da superfície.
e) é a quantidade de campo elétrico que tangencia a superfície.