Uma esfera isolante de raio R tem uma densidade de carga não-uniforme rho(r)=A r^2, para r <= R, onde r é medida a partir do centro da esfera. Mostre que o campo elétrico dentro da esfera é
E=A r^35 epsilon0 r

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma esfera isolante de raio com uma densidade de carga que não é uniforme, dada por , onde é a distância do centro da esfera. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico dentro dessa esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetria conhecida. A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.

Passo 2

Vamos começar aplicando a Lei de Gauss. Primeiro, escolhemos uma superfície gaussiana que simplifique nossos cálculos. Como a densidade de carga depende apenas de oint E cdot dA = Qintepsilon0 e a geometria é esférica, vamos escolher uma esfera de raio (onde ) como nossa superfície gaussiana.
A Lei de Gauss é dada por:
Onde:
  • é o campo elétrico
  • é um elemento de área na superfície gaussiana
  • é a carga total dentro da superfície
  • é a permissividade do vácuo

Passo 3

Como o campo elétrico devido a uma distribuição esférica de carga é radialmente simétrico, podemos dizer que E oint dA = E cdot 4pi r^2 aponta na direção radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana.
Portanto, o lado esquerdo da Lei de Gauss se simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dq = rho(r) cdot dV = A r^2 cdot 4pi r^2 dr , a carga total dentro da esfera de raio Qint = integral0^r 4pi A r^4 dr = 4pi A integral0^r r^4 dr = 4pi A [ r^55 ]0^r = 4pi A r^55 . A densidade de carga é dada por , então a carga infinitesimal em uma camada esférica de espessura é:
Integrando da distância 0 até , obtemos:

Passo 5

Substituindo E cdot 4pi r^2 = 4pi A r^55 epsilon0 e o lado esquerdo da Lei de Gauss na equação original:
E r^2 = A r^55 epsilon0
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:

Passo 6

Resolvendo para E = A r^35 epsilon0 :
E = A r^35 epsilon0 r
Como o campo elétrico é radial, podemos escrever o vetor campo elétrico como:

Resposta

O campo elétrico dentro da esfera é dado por:
E = A r^35 epsilon0 r

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