Uma esfera isolante de raio
tem uma densidade de carga não-uniforme
, para
, onde
é medida a partir do centro da esfera. Mostre que o campo elétrico dentro da esfera é
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma esfera isolante de raio
com uma densidade de carga que não é uniforme, dada por
, onde
é a distância do centro da esfera. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico
dentro dessa esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos com simetria conhecida. A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
Passo 2
Vamos começar aplicando a Lei de Gauss. Primeiro, escolhemos uma superfície gaussiana que simplifique nossos cálculos. Como a densidade de carga depende apenas de
e a geometria é esférica, vamos escolher uma esfera de raio
(onde
) como nossa superfície gaussiana.
A Lei de Gauss é dada por:
Onde:
-
é o campo elétrico -
é um elemento de área na superfície gaussiana -
é a carga total dentro da superfície -
é a permissividade do vácuo
Passo 3
Como o campo elétrico devido a uma distribuição esférica de carga é radialmente simétrico, podemos dizer que
aponta na direção radial
e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana.
Portanto, o lado esquerdo da Lei de Gauss se simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, a carga total dentro da esfera de raio
. A densidade de carga é dada por
, então a carga infinitesimal em uma camada esférica de espessura
é:
Integrando da distância 0 até
, obtemos:
Passo 5
Substituindo
e o lado esquerdo da Lei de Gauss na equação original:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 6
Resolvendo para
:
Como o campo elétrico é radial, podemos escrever o vetor campo elétrico como:
Resposta
O campo elétrico dentro da esfera é dado por: