A equação
é a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão e a equação dependente do tempo é dada por
. Se
for uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo com energia
, mostre que a função de onda
é uma solução da equação de Schrödinger dependente do tempo quando
for escolhido de modo apropriado. Mostre que
para a função de onda dependente do tempo indicada anteriormente.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas equações de Schrödinger: uma que não depende do tempo e outra que depende. O conteúdo da matéria é a mecânica quântica, especificamente as equações de Schrödinger. Para resolver, vamos precisar entender a relação entre as soluções das equações dependente e independente do tempo e trabalhar com funções de onda complexas.
Passo 2
Sabemos que
é uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo:
Queremos mostrar que a função de onda dependente do tempo dada por
também satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, se escolhermos
de forma apropriada.
Passo 3
Vamos primeiro calcular a derivada parcial de
em relação ao tempo
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e suas derivadas na equação de Schrödinger dependente do tempo:
Substituindo a derivada em
e a derivada em
que calculamos:
Passo 5
Simplificando o lado direito da equação:
Então, a equação fica:
Passo 6
Podemos dividir ambos os lados por
, já que ele não é zero:
Passo 7
Observamos que a equação acima é exatamente a equação de Schrödinger independente do tempo, onde o lado esquerdo é igual a
. Portanto, temos:
Isso implica que
, ou seja,
.
Passo 8
Assim, ao escolher
, a função
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Passo 9
Agora, vamos mostrar que a densidade de probabilidade é independente do tempo. A densidade de probabilidade é dada por:
Substituindo
:
Resposta
Mostramos que, escolhendo
, a função de onda dependente do tempo
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. Além disso, a densidade de probabilidade
permanece igual a
, sendo independente do tempo.
Exercícios relacionados
Um balão voa verticalmente com uma velocidade
. Ao passar pela altura
, um saco de areia cai do balão e passa a se mover em queda livre. Após alcançar a altura máxima, o saco de areia cai até atingir o solo.
Desenhe os gráficos posição tempo, velocidade
tempo e aceleração
tempo.
Desenhe os gráficos posição
Uma esfera isolante uniformemente carregada de raio
, com uma densidade de cargas
, esta situada no centro de uma casca esférica isolante de raio interno
e raio extemo
uniformemente carregada, com uma densidade de cargas
(ver
figura ao lado). (a) Usando a Lei de Gauss, determine o módulo do campo elétrico
para qualquer distancia
tomada a partir do centro deste arranjo (ou seja, para:
)
;ii)
; iii)
), expresse seus resultados em termos de
e
. (b) Baseando-se na Lei de Gauss, diga qual é a condição que deve ser imposta, relacionando a carga total
da esfera central e a carga total
da casca esferica, pará que o campo elétrico externo
seja nulo.
Qual das opções abaixo é a expressão correta para a relação de proporcionalidade entre o campo elétrico
e a distância
de um dipolo elétrico?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Por que o campo elétrico produzido por um dipolo diminui mais depressa com a distância que o campo elétrico produzido por uma carga única?
a) Porque as duas cargas do dipolo estão separadas por uma certa distância.
b) Porque, como um dipolo é composto por duas cargas, o campo elétrico tem um valor duas vezes menor.
c) Porque quase todos os pontos do espaço estão mais próximos de uma das cargas do que da outra.
d) Porque a carga total do dipolo é zero.
e) Porque os dipolos não produzem campo elétrico.
a) Porque as duas cargas do dipolo estão separadas por uma certa distância.
b) Porque, como um dipolo é composto por duas cargas, o campo elétrico tem um valor duas vezes menor.
c) Porque quase todos os pontos do espaço estão mais próximos de uma das cargas do que da outra.
d) Porque a carga total do dipolo é zero.
e) Porque os dipolos não produzem campo elétrico.