Uma esfera maciça homogênea de raio R produz uma aceleração gravitacional ag na superfície. A que distância do centro da esfera existem pontos (a) dentro da esfera e (b) fora da esfera nos quais a aceleração gravitacional é ax / 3 ?
(a) R / 3;
(b) 3^0,5 R

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma esfera maciça homogênea com raio que cria uma aceleração gravitacional na sua superfície. Precisamos descobrir a que distância do centro dessa esfera existem pontos (a) dentro da esfera e (b) fora dela onde a aceleração gravitacional é igual a .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Gravitação Universal, especificamente as fórmulas que descrevem a aceleração gravitacional tanto dentro quanto fora de uma esfera homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a aceleração gravitacional se comporta fora de uma esfera. De acordo com a Lei da Gravitação de Newton, a aceleração gravitacional a = G Mr^2 a uma distância ag = G MR^2 do centro de uma esfera com massa é dada por:
onde é a constante gravitacional.
Como sabemos que na superfície da esfera ( ) a aceleração é , podemos escrever:

Passo 3

Agora, queremos achar a distância ax3 = G Mr^2 fora da esfera onde a aceleração é ax3 = ag ( Rr )^2 . Usando a fórmula da aceleração gravitacional fora da esfera:
ax3 ag = ( Rr )^2
Sabemos que raizax3 ag = Rr , então podemos substituir:
r = R raiz3 agax
Resolvendo para r = raiz3 R :
Se assumirmos que , simplificamos:

Passo 4

Agora, vamos analisar o caso dentro da esfera. Para pontos dentro de uma esfera homogênea, a aceleração gravitacional varia linearmente com a distância ao centro, e é dada por:
a(r) = ag ( rR )
Queremos que ax3 = ag ( rR ) . Substituindo:
13 = rR
Novamente, assumindo r = R3 :

Resposta

(a) Dentro da esfera: A distância é .
(b) Fora da esfera: A distância é .

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