Uma esfera maciça homogênea de raio
produz uma aceleração gravitacional
na superfície. A que distância do centro da esfera existem pontos (a) dentro da esfera e (b) fora da esfera nos quais a aceleração gravitacional é
?
(a)
;
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma esfera maciça homogênea com raio
que cria uma aceleração gravitacional
na sua superfície. Precisamos descobrir a que distância do centro dessa esfera existem pontos (a) dentro da esfera e (b) fora dela onde a aceleração gravitacional é igual a
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Gravitação Universal, especificamente as fórmulas que descrevem a aceleração gravitacional tanto dentro quanto fora de uma esfera homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a aceleração gravitacional se comporta fora de uma esfera. De acordo com a Lei da Gravitação de Newton, a aceleração gravitacional
a uma distância
do centro de uma esfera com massa
é dada por:
onde
é a constante gravitacional.
Como sabemos que na superfície da esfera (
) a aceleração é
, podemos escrever:
Passo 3
Agora, queremos achar a distância
fora da esfera onde a aceleração é
. Usando a fórmula da aceleração gravitacional fora da esfera:
Sabemos que
, então podemos substituir:
Resolvendo para
:
Se assumirmos que
, simplificamos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o caso dentro da esfera. Para pontos dentro de uma esfera homogênea, a aceleração gravitacional varia linearmente com a distância ao centro, e é dada por:
Queremos que
. Substituindo:
Novamente, assumindo
:
Resposta
(a) Dentro da esfera: A distância é
.
(b) Fora da esfera: A distância é
.