Uma bola é solta a partir do repouso em a diretamente acima do centro de um espelho côncavo esférico que tem raio de curvatura de e se coloca em um plano horizontal. (a) Descreva o movimento da imagem da bola no espelho. (b) Em qual instante ou instantes a bola e sua imagem coincidem? Resposta: b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (b) desse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma bola sendo solta de uma altura de 3 metros acima de um espelho côncavo esférico com raio de curvatura de 1 metro. A pergunta é: Em qual instante ou instantes a bola e sua imagem coincidem?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espelhos côncavos e como as imagens se formam neles. Vamos usar algumas fórmulas de óptica para descobrir quando a posição da bola e a posição da imagem dela no espelho serão as mesmas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para um espelho côncavo, a relação entre a distância do objeto ao espelho ( ), a distância da imagem ao espelho ( ), e a distância focal ( ) é dada pela fórmula dos espelhos:
Aqui, é a distância focal, que está relacionada ao raio de curvatura ( ) do espelho pela fórmula:
No nosso caso, , então:

Passo 3

A partir da fórmula dos espelhos, se quisermos que a imagem coincida com o objeto ( ), podemos substituir por na equação:
Resolvendo para :
Então, a distância do objeto ao espelho nesse instante será:
Isso significa que quando a bola estiver a 1 metro do espelho, a imagem dela também estará a 1 metro do espelho, ou seja, elas coincidirão.

Passo 4

Agora, precisamos descobrir em quanto tempo a bola cai de 3 metros até a posição onde está a 1 metro do espelho. Vamos considerar que a bola está caindo livremente sob a ação da gravidade, sem resistência do ar, e começa do repouso.
A equação do movimento para uma queda livre é:
Onde:
  • é a distância percorrida,
  • é a velocidade inicial (que é 0, já que a bola parte do repouso),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é o tempo.
Queremos que a bola percorra .
Substituindo na equação:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo ambos os lados por :
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

Portanto, a bola e sua imagem coincidem aproximadamente em .

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