Uma bola é solta a partir do repouso em
a
diretamente acima do centro de um espelho côncavo esférico que tem raio de curvatura de
e se coloca em um plano horizontal. (a) Descreva o movimento da imagem da bola no espelho. (b) Em qual instante ou instantes a bola e sua imagem coincidem? Resposta: b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (b) desse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma bola sendo solta de uma altura de 3 metros acima de um espelho côncavo esférico com raio de curvatura de 1 metro. A pergunta é: Em qual instante ou instantes a bola e sua imagem coincidem?
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre espelhos côncavos e como as imagens se formam neles. Vamos usar algumas fórmulas de óptica para descobrir quando a posição da bola e a posição da imagem dela no espelho serão as mesmas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que para um espelho côncavo, a relação entre a distância do objeto ao espelho (
), a distância da imagem ao espelho (
), e a distância focal (
) é dada pela fórmula dos espelhos:
Aqui,
é a distância focal, que está relacionada ao raio de curvatura (
) do espelho pela fórmula:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
A partir da fórmula dos espelhos, se quisermos que a imagem coincida com o objeto (
), podemos substituir
por
na equação:
Resolvendo para
:
Então, a distância do objeto ao espelho nesse instante será:
Isso significa que quando a bola estiver a 1 metro do espelho, a imagem dela também estará a 1 metro do espelho, ou seja, elas coincidirão.
Passo 4
Agora, precisamos descobrir em quanto tempo a bola cai de 3 metros até a posição onde está a 1 metro do espelho. Vamos considerar que a bola está caindo livremente sob a ação da gravidade, sem resistência do ar, e começa do repouso.
A equação do movimento para uma queda livre é:
Onde:
-
é a distância percorrida, -
é a velocidade inicial (que é 0, já que a bola parte do repouso), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é o tempo.
Queremos que a bola percorra
.
Substituindo na equação:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Dividindo ambos os lados por
:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
Portanto, a bola e sua imagem coincidem aproximadamente em
.