Uma esfera maciça não condutora de raio
carrega uma densidade de carga uniforme por todo o seu volume. A uma distância
do centro da esfera, o campo elétrico tem uma intensidade
. Qual é a intensidade do campo elétrico a uma distância
do centro da esfera?
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com uma esfera maciça não condutora de raio $ R $ que tem uma densidade de carga uniforme em todo o seu volume. Queremos descobrir a intensidade do campo elétrico a uma distância $ r_2 = 2R $ do centro dessa esfera, sabendo que a uma distância $ r_1 = \frac{R}{4} $ o campo elétrico é $ E_0 $.
Conteúdo da Matéria:
- Campo elétrico de uma esfera carregada uniformemente.
- Diferença entre campos elétricos dentro e fora da esfera.
O que vamos precisar:
- Fórmulas do campo elétrico para pontos internos e externos a uma esfera carregada uniformemente.
- Relações de proporcionalidade entre distância e campo elétrico.
Passo 2
Entendendo o Campo Elétrico Dentro da Esfera
Primeiro, vamos analisar o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, quando a distância do centro $ r < R $.
Para uma esfera com carga distribuída uniformemente, o campo elétrico interno é dado por:
Explicação:
- $ Q $ é a carga total da esfera.
- $ r $ é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até o centro da esfera.
- $ R $ é o raio da esfera.
- Esta fórmula mostra que dentro da esfera, o campo elétrico aumenta linearmente com a distância $ r $.
Passo 3
Aplicando a Fórmula para o Campo Interno
Sabemos que a $ r_1 = \frac{R}{4} $, e o campo elétrico nessa distância é $ E_0 $.
Vamos substituir esses valores na fórmula do campo interno:
Simplificando:
Passo 4
Expressando a Carga Total $ Q $
Podemos reorganizar a equação para encontrar $ Q $:
Passo 5
Calculando o Campo Elétrico Fora da Esfera
Agora, queremos encontrar o campo elétrico a $ r_2 = 2R $, que está fora da esfera.
Para pontos fora da esfera ($ r > R $), o campo elétrico é dado por:
Explicação:
- Aqui, o campo elétrico diminui com o quadrado da distância $ r $, seguindo a Lei de Coulomb para uma carga pontual equivalente.
Passo 6
Substituindo $ Q $ na Fórmula do Campo Externo
Utilizando a expressão que encontramos para $ Q $:
Simplificando:
Resposta
A intensidade do campo elétrico a uma distância $ 2R $ do centro da esfera é igual a $ E_0 $.
Alternativa C) $ E_0 $