Uma esfera maciça não condutora de raio R carrega uma densidade de carga uniforme por todo o seu volume. A uma distância r1=R / 4 do centro da esfera, o campo elétrico tem uma intensidade E0. Qual é a intensidade do campo elétrico a uma distância r2=2 R do centro da esfera?
A) E0 / 4
B) E0 / 2
C) E0
D) 2 E0
E) E0 / 64

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com uma esfera maciça não condutora de raio $ R $ que tem uma densidade de carga uniforme em todo o seu volume. Queremos descobrir a intensidade do campo elétrico a uma distância $ r_2 = 2R $ do centro dessa esfera, sabendo que a uma distância $ r_1 = \frac{R}{4} $ o campo elétrico é $ E_0 $.
Conteúdo da Matéria:
  • Campo elétrico de uma esfera carregada uniformemente.
  • Diferença entre campos elétricos dentro e fora da esfera.
O que vamos precisar:
  • Fórmulas do campo elétrico para pontos internos e externos a uma esfera carregada uniformemente.
  • Relações de proporcionalidade entre distância e campo elétrico.

Passo 2

Entendendo o Campo Elétrico Dentro da Esfera
Primeiro, vamos analisar o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, quando a distância do centro $ r < R $.
Para uma esfera com carga distribuída uniformemente, o campo elétrico interno é dado por:
r < R
Explicação:
  • $ Q $ é a carga total da esfera.
  • $ r $ é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até o centro da esfera.
  • $ R $ é o raio da esfera.
  • Esta fórmula mostra que dentro da esfera, o campo elétrico aumenta linearmente com a distância $ r $.

Passo 3

Aplicando a Fórmula para o Campo Interno
Sabemos que a $ r_1 = \frac{R}{4} $, e o campo elétrico nessa distância é $ E_0 $.
Vamos substituir esses valores na fórmula do campo interno:
r1 = R4
Simplificando:
E0

Passo 4

Expressando a Carga Total $ Q $
Podemos reorganizar a equação para encontrar $ Q $:
Q
Q

Passo 5

Calculando o Campo Elétrico Fora da Esfera
Agora, queremos encontrar o campo elétrico a $ r_2 = 2R $, que está fora da esfera.
Para pontos fora da esfera ($ r > R $), o campo elétrico é dado por:
r2 = 2R
Explicação:
  • Aqui, o campo elétrico diminui com o quadrado da distância $ r $, seguindo a Lei de Coulomb para uma carga pontual equivalente.

Passo 6

Substituindo $ Q $ na Fórmula do Campo Externo
Utilizando a expressão que encontramos para $ Q $:
Q
Simplificando:
Q
Eexterno(2R) = 14pivarepsilon0 cdot 16pivarepsilon0 R^2 E0(2R)^2
Eexterno(2R) = 16pivarepsilon0 R^2 E04pivarepsilon0 (4R^2)

Resposta

A intensidade do campo elétrico a uma distância $ 2R $ do centro da esfera é igual a $ E_0 $.
Alternativa C) $ E_0 $

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