Uma esfera não condutora de raio R tem uma densidade de carga que varia de acordo com a equação
, onde
é uma constante positiva e
é a distância de um ponto qualquer dentro da esfera até o centro. Calcule, em função de
e
, qual é a energia armazenada no campo elétrico no interior da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera não condutora com raio $ R $ e uma densidade de carga que varia conforme $ \rho = a r $, onde $ a $ é uma constante positiva e $ r $ é a distância do centro até um ponto dentro da esfera. Nosso objetivo aqui é calcular a energia armazenada no campo elétrico dentro dessa esfera, usando os parâmetros $ a $, $ R $ e $ \varepsilon_{0} $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos elétricos, densidade de carga e como calcular a energia armazenada nesse campo.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa encontrar o campo elétrico $ E® $ dentro da esfera. Como a densidade de carga varia com $ r $, vamos usar a Lei de Gauss para achar $ E® $.
A Lei de Gauss diz que:
Onde $ Q_{interno} $ é a carga dentro de uma superfície gaussiana de raio $ r $.
Como a esfera é simétrica, podemos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $. Assim, o campo elétrico $ E® $ será radial e de mesma magnitude em toda a superfície.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ Q_{interno} $. A densidade de carga é $ \rho = a r $, então a carga em um volume diferencial $ dV $ é $ \rho dV = a r dV $.
Em coordenadas esféricas, $ dV = 4\pi r^{2} dr $. Portanto, a carga interna até o raio $ r $ é:
Integrando, temos:
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos $ E® $, vamos calcular a energia armazenada no campo elétrico. A energia $ U $ é dada por:
Substituindo $ E® $:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Reduzindo os termos:
Integrando:
Então:
Resposta
A energia armazenada no campo elétrico dentro da esfera é: