Um fio cilíndrico de raio R é percorrido por uma densidade de corrente paralela ao seu eixo central e que varia de acordo com a equação J=a1+r^2, onde a é uma constante positiva e r é a distância de um ponto qualquer dentro do fio até o eixo. Faça um esboço do gráfico de J versus r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um fio cilíndrico com raio R por onde passa uma corrente elétrica. A densidade de corrente, que a gente chama de J, está distribuída de forma paralela ao eixo central do fio e varia conforme a distância r do ponto até o centro. A equação que descreve isso é J = a1 + r^2, onde a é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é fazer um esboço gráfico de J em função de r. Para isso, vamos precisar entender como J muda conforme r varia de 0 (centro do fio) até R (superfície do fio).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é densidade de corrente J. Ela nos diz quanta corrente está passando por uma área unitária perpendicular à direção da corrente. No nosso caso, J depende da distância r do ponto até o centro do fio.

Passo 3

Vamos analisar a equação J = a1 + r^2. Aqui, a é uma constante que afeta a intensidade da corrente, e r é a distância do ponto até o eixo central do fio. À medida que r aumenta, o denominador 1 + r^2 também aumenta, fazendo com que J diminua. Isso significa que a densidade de corrente é maior quando estamos mais perto do centro e menor conforme nos afastamos dele.

Passo 4

Agora, vamos ver alguns valores específicos para tornar o gráfico mais claro:
  • Quando r = 0 (no centro do fio):
    J = a1 + 0^2 = a
    Ou seja, a densidade de corrente é máxima no centro.
  • Quando r = 1:
    J = a1 + 1^2 = a2
    A densidade de corrente cai para metade.
  • Quando r = raiz3:
    J = a1 + (raiz3)^2 = a1 + 3 = a4
    E continua diminuindo.
  • No limite, quando r se aproxima de R:
    J = a1 + R^2
    Esse será o valor de J na superfície do fio.

Passo 5

Com esses pontos, podemos começar a esboçar o gráfico. No eixo horizontal temos r, que varia de 0 até R. No eixo vertical temos J, que começa em a quando r = 0 e diminui conforme r aumenta, aproximando-se de a1 + R^2 quando r = R.

Passo 6

O gráfico da função J = a1 + r^2 é uma curva decrescente que se aproxima, mas nunca toca, o eixo horizontal conforme r aumenta. No nosso caso, como r só vai até R, a curva começará em J = a e descerá suavemente até J = a1 + R^2.

Passo 7

Então, para desenhar o gráfico:
  1. Desenhe os eixos, com r no horizontal e J no vertical.
  2. Marque o ponto (0, a).
  3. Marque outros pontos, como (1, a2), (raiz3, a4), etc.
  4. Conecte esses pontos com uma curva suave que decresce.
  5. Certifique-se de que no ponto r = R, a curva atinja J = a1 + R^2.

Resposta

O gráfico de J versus r é uma curva decrescente que começa em J = a quando r = 0 e diminui suavemente até J = a1 + R^2 quando r = R. A curva mostra que a densidade de corrente é maior no centro do fio e vai diminuindo conforme a distância do eixo central aumenta.

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