Um fio cilíndrico de raio
é percorrido por uma densidade de corrente paralela ao seu eixo central e que varia de acordo com a equação
, onde
é uma constante positiva e
é a distância de um ponto qualquer dentro do fio até o eixo. Faça um esboço do gráfico de
versus
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um fio cilíndrico com raio
por onde passa uma corrente elétrica. A densidade de corrente, que a gente chama de
, está distribuída de forma paralela ao eixo central do fio e varia conforme a distância
do ponto até o centro. A equação que descreve isso é
, onde
é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é fazer um esboço gráfico de
em função de
. Para isso, vamos precisar entender como
muda conforme
varia de
(centro do fio) até
(superfície do fio).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é densidade de corrente
. Ela nos diz quanta corrente está passando por uma área unitária perpendicular à direção da corrente. No nosso caso,
depende da distância
do ponto até o centro do fio.
Passo 3
Vamos analisar a equação
. Aqui,
é uma constante que afeta a intensidade da corrente, e
é a distância do ponto até o eixo central do fio. À medida que
aumenta, o denominador
também aumenta, fazendo com que
diminua. Isso significa que a densidade de corrente é maior quando estamos mais perto do centro e menor conforme nos afastamos dele.
Passo 4
Agora, vamos ver alguns valores específicos para tornar o gráfico mais claro:
-
Quando
(no centro do fio): Ou seja, a densidade de corrente é máxima no centro. -
Quando
: A densidade de corrente cai para metade. -
Quando
: E continua diminuindo. -
No limite, quando
se aproxima de : Esse será o valor dena superfície do fio.
Passo 5
Com esses pontos, podemos começar a esboçar o gráfico. No eixo horizontal temos
, que varia de
até
. No eixo vertical temos
, que começa em
quando
e diminui conforme
aumenta, aproximando-se de
quando
.
Passo 6
O gráfico da função
é uma curva decrescente que se aproxima, mas nunca toca, o eixo horizontal conforme
aumenta. No nosso caso, como
só vai até
, a curva começará em
e descerá suavemente até
.
Passo 7
Então, para desenhar o gráfico:
- Desenhe os eixos, com
no horizontal e no vertical. - Marque o ponto
. - Marque outros pontos, como
, , etc. - Conecte esses pontos com uma curva suave que decresce.
- Certifique-se de que no ponto
, a curva atinja .
Resposta
O gráfico de
versus
é uma curva decrescente que começa em
quando
e diminui suavemente até
quando
. A curva mostra que a densidade de corrente é maior no centro do fio e vai diminuindo conforme a distância do eixo central aumenta.