Um fio cilíndrico de raio
é percorrido por uma densidade de corrente paralela ao seu eixo central e que varia de acordo com a equação
, onde
é uma constante positiva e
é a distância de um ponto qualquer dentro do fio até o eixo. Calcule, em função de
e R, a intensidade da corrente que passa pelo fio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio cilíndrico com raio $ R $ e uma densidade de corrente que varia conforme a distância $ r $ do ponto até o eixo do fio. A equação dada é $ J = \frac{a}{1 + r^{2}} $, onde $ a $ é uma constante positiva. Nosso objetivo é calcular a intensidade total da corrente que passa pelo fio, ou seja, encontrar $ I $ em função de $ a $ e $ R $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é densidade de corrente. A densidade de corrente $ J $ nos diz quanta corrente está passando por uma área específica do fio. Para encontrar a corrente total $ I $, precisamos integrar essa densidade sobre toda a área transversal do fio.
Passo 3
Como o fio é cilíndrico, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Nessa configuração, a área diferencial $ dA $ é dada por $ dA = r , dr , d\theta $, onde $ r $ é a distância ao centro e $ \theta $ é o ângulo.
Passo 4
Agora, vamos montar a integral para calcular a corrente total:
Primeiro, integramos em relação a $ r $:
Vamos fazer uma substituição para facilitar: deixe $ u = 1 + r^{2} $, então $ du = 2r , dr $ ou $ \frac{du}{2} = r , dr $. A integral fica:
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
A intensidade total da corrente que passa pelo fio é $ I = a \pi \ln(1 + R^{2}) $.