Um fio cilíndrico de raio R é percorrido por uma densidade de corrente paralela ao seu eixo central e que varia de acordo com a equação J=a1+r^2, onde a é uma constante positiva e r é a distância de um ponto qualquer dentro do fio até o eixo. Calcule, em função de a e R, a intensidade da corrente que passa pelo fio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio cilíndrico com raio $ R $ e uma densidade de corrente que varia conforme a distância $ r $ do ponto até o eixo do fio. A equação dada é $ J = \frac{a}{1 + r^{2}} $, onde $ a $ é uma constante positiva. Nosso objetivo é calcular a intensidade total da corrente que passa pelo fio, ou seja, encontrar $ I $ em função de $ a $ e $ R $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é densidade de corrente. A densidade de corrente $ J $ nos diz quanta corrente está passando por uma área específica do fio. Para encontrar a corrente total $ I $, precisamos integrar essa densidade sobre toda a área transversal do fio.

Passo 3

Como o fio é cilíndrico, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Nessa configuração, a área diferencial $ dA $ é dada por $ dA = r , dr , d\theta $, onde $ r $ é a distância ao centro e $ \theta $ é o ângulo.

Passo 4

Agora, vamos montar a integral para calcular a corrente total:
I = integralárea J , dA = integral0^2pi integral0^R a1 + r^2 cdot r , dr , dtheta á
Primeiro, integramos em relação a $ r $:
r
Vamos fazer uma substituição para facilitar: deixe $ u = 1 + r^{2} $, então $ du = 2r , dr $ ou $ \frac{du}{2} = r , dr $. A integral fica:
integral0^R a cdot r1 + r^2 , dr
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
u = 1 + r^2

Resposta

A intensidade total da corrente que passa pelo fio é $ I = a \pi \ln(1 + R^{2}) $.

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