Uma esfera oca, de raio 10 cm e massa 15 kg , rola suavemente a partir do repouso por uma distância de até atingir a base de um plano inclinado com inclinação .
(b) Qual a velocidade do centro de massa da esfera ao deixar o plano inclinado?

Passo 1

Vamos resolver a questão que envolve uma esfera oca rolando até a base de um plano inclinado. O conteúdo principal aqui é cinemática e dinâmica do movimento rotacional. Para encontrar a velocidade do centro de massa da esfera ao deixar o plano inclinado, vamos precisar aplicar conceitos de conservação de energia, considerando tanto a energia linear quanto a energia rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a esfera está rolando sem deslizar, ou seja, está rolando suavemente. Isso significa que a esfera tem energia tanto de movimento linear (de seu centro de massa) quanto de rotação em torno de seu eixo. A energia total da esfera será a soma dessas duas formas de energia.

Passo 3

A fórmula para a energia cinética total de um objeto que está rolando sem deslizar é dada por:
Onde:
  • é a massa da esfera,
  • é a velocidade do centro de massa,
  • é o momento de inércia da esfera,
  • é a velocidade angular.

Passo 4

Para uma esfera oca, o momento de inércia é:
E como a esfera está rolando sem deslizar, a relação entre a velocidade linear e a velocidade angular é:

Passo 5

Substituindo por na fórmula da energia cinética:
Simplificando:

Passo 6

Agora, aplicamos o princípio da conservação de energia. A energia potencial gravitacional perdida pela esfera ao descer o plano inclinado será convertida em sua energia cinética total:
Onde:
  • é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente ²),
  • é a altura do plano inclinado.

Passo 7

Precisamos relacionar a distância percorrida no plano inclinado com a altura . Sabemos que:
Onde:
  • é a distância percorrida no plano inclinado,
  • é o ângulo de inclinação.
Dado que e :

Passo 8

Substituindo na equação de conservação de energia:
Os se cancelam:
Resolvendo para :

Passo 9

Agora, substituímos os valores conhecidos:
²
Calculando:

Resposta

A velocidade do centro de massa da esfera ao deixar o plano inclinado é aproximadamente 8,4 m/s.

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