Uma esfera oca, de raio 10 cm e massa 15 kg , rola suavemente a partir do repouso por uma distância de 12,0 m até atingir a base de um plano inclinado com inclinação theta=30^circ.
(b) Qual a velocidade do centro de massa da esfera ao deixar o plano inclinado?

Passo 1

Vamos resolver a questão que envolve uma esfera oca rolando até a base de um plano inclinado. O conteúdo principal aqui é cinemática e dinâmica do movimento rotacional. Para encontrar a velocidade do centro de massa da esfera ao deixar o plano inclinado, vamos precisar aplicar conceitos de conservação de energia, considerando tanto a energia linear quanto a energia rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a esfera está rolando sem deslizar, ou seja, está rolando suavemente. Isso significa que a esfera tem energia tanto de movimento linear (de seu centro de massa) quanto de rotação em torno de seu eixo. A energia total da esfera será a soma dessas duas formas de energia.

Passo 3

A fórmula para a energia cinética total Ek = 12 m v^2 + 12 I omega^2 de um objeto que está rolando sem deslizar é dada por:
Onde:
  • é a massa da esfera,
  • é a velocidade do centro de massa,
  • é o momento de inércia da esfera,
  • é a velocidade angular.

Passo 4

Para uma esfera oca, o momento de inércia I = 23 m r^2 é:
v = omega r
E como a esfera está rolando sem deslizar, a relação entre a velocidade linear e a velocidade angular é:

Passo 5

Substituindo Ek = 12 m v^2 + 12 ( 23 m r^2 ) ( vr )^2 por Ek = 12 m v^2 + 13 m v^2 = 56 m v^2 na fórmula da energia cinética:
Simplificando:

Passo 6

Agora, aplicamos o princípio da conservação de energia. A energia potencial gravitacional perdida pela esfera ao descer o plano inclinado será convertida em sua energia cinética total:
m g h = 56 m v^2
Onde:
  • é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente ²),
  • é a altura do plano inclinado.

Passo 7

Precisamos relacionar a distância percorrida no plano inclinado com a altura h = L sin theta . Sabemos que:
h = 12,0 , m times sin 30^circ = 12,0 , m times 0,5 = 6,0 , m
Onde:
  • é a distância percorrida no plano inclinado,
  • é o ângulo de inclinação.
Dado que e :

Passo 8

Substituindo m g h = 56 m v^2 na equação de conservação de energia:
g h = 56 v^2
Os v^2 = 65 g h se cancelam:
v = raiz 65 g h
Resolvendo para :

Passo 9

Agora, substituímos os valores conhecidos:
v = raiz 65 times 9,8 , m/s² times 6,0 , m ²
Calculando:
v = raiz 65 times 58,8 = raiz 70,56 approx 8,4 , m/s

Resposta

A velocidade do centro de massa da esfera ao deixar o plano inclinado é aproximadamente 8,4 m/s.

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