Uma esfera oca, de raio 10 cm e massa 15 kg , rola suavemente a partir do repouso por uma distância de
até atingir a base de um plano inclinado com inclinação
.
(b) Qual a velocidade do centro de massa da esfera ao deixar o plano inclinado?
(b) Qual a velocidade do centro de massa da esfera ao deixar o plano inclinado?
Passo 1
Vamos resolver a questão que envolve uma esfera oca rolando até a base de um plano inclinado. O conteúdo principal aqui é cinemática e dinâmica do movimento rotacional. Para encontrar a velocidade do centro de massa da esfera ao deixar o plano inclinado, vamos precisar aplicar conceitos de conservação de energia, considerando tanto a energia linear quanto a energia rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a esfera está rolando sem deslizar, ou seja, está rolando suavemente. Isso significa que a esfera tem energia tanto de movimento linear (de seu centro de massa) quanto de rotação em torno de seu eixo. A energia total da esfera será a soma dessas duas formas de energia.
Passo 3
A fórmula para a energia cinética total
de um objeto que está rolando sem deslizar é dada por:
Onde:
-
é a massa da esfera, -
é a velocidade do centro de massa, -
é o momento de inércia da esfera, -
é a velocidade angular.
Passo 4
Para uma esfera oca, o momento de inércia
é:
E como a esfera está rolando sem deslizar, a relação entre a velocidade linear
e a velocidade angular
é:
Passo 5
Substituindo
por
na fórmula da energia cinética:
Simplificando:
Passo 6
Agora, aplicamos o princípio da conservação de energia. A energia potencial gravitacional perdida pela esfera ao descer o plano inclinado será convertida em sua energia cinética total:
Onde:
-
é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente ), -
é a altura do plano inclinado.
Passo 7
Precisamos relacionar a distância percorrida no plano inclinado com a altura
. Sabemos que:
Onde:
-
é a distância percorrida no plano inclinado, -
é o ângulo de inclinação.
Dado que
e
:
Passo 8
Substituindo
na equação de conservação de energia:
Os
se cancelam:
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Calculando:
Resposta
A velocidade do centro de massa da esfera ao deixar o plano inclinado é aproximadamente 8,4 m/s.