Uma esfera de ouro de raio R uniformemente carregada com carga Q está no centro de uma esfera oca também de ouro com raio interno a e raio externo b. Se a esfera oca tem carga total igual a q calcule:
a) o campo elétrico em todo o espaço
b) a carga total que está nas superfícies interna e externa da esfera oca.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! A gente tem duas esferas de ouro: uma sólida com raio $ R $ e carga $ Q $, e uma esfera oca ao redor dela com raio interno $ a $ e externo $ b $, totalizando carga $ q $. Precisamos calcular duas coisas:
a) O campo elétrico em todo o espaço.
b) A carga total nas superfícies interna e externa da esfera oca.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos com simetria esférica. Vamos por partes, passo a passo.

Passo 2

Parte a: Calculando o campo elétrico em todo o espaço
Primeiro, vamos identificar as diferentes regiões onde precisamos calcular o campo elétrico:
  1. Dentro da esfera sólida (r < R):
    Aqui, a carga está distribuída uniformemente. A Lei de Gauss nos ajuda a achar o campo elétrico dentro de um material esférico carregado.
  2. Entre a esfera sólida e a esfera oca (R < r < a):
    Nesta região, a carga total da esfera sólida influencia o campo elétrico.
  3. Dentro da cavidade da esfera oca (a < r < b):
    Como a esfera oca é condutora, não há campo elétrico dentro dela.
  4. Fora das duas esferas (r > b):
    Aqui, o campo elétrico é devido à combinação das cargas das duas esferas.

Passo 3

Região 1: Dentro da esfera sólida (r < R)
Como a carga $ Q $ está uniformemente distribuída, o campo elétrico varia com a distância $ r $ do centro. Usamos a Lei de Gauss:
Q
A carga interna $ Q_{enc} $ dentro de um raio $ r $ é proporcional a $ r^3 $:
r
Então, o campo elétrico:
E cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0

Passo 4

Região 2: Entre as duas esferas (R < r < a)
Aqui, apenas a carga $ Q $ da esfera sólida está dentro da superfície gaussiana. A esfera oca ainda não contribui para o campo elétrico nessa região.
Aplicando a Lei de Gauss:
Q
Portanto, o campo elétrico:
E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0

Passo 5

Região 3: Dentro da cavidade da esfera oca (a < r < b)
A esfera oca é condutora e em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Portanto, dentro da cavidade:
E = 0

Passo 6

Região 4: Fora das duas esferas (r > b)
Agora, consideramos todas as cargas internas. A esfera oca tem carga total $ q $, e a esfera sólida tem carga $ Q $. O campo elétrico é devido à soma dessas cargas:
q
Portanto, o campo elétrico:
Q

Passo 7

Parte b: Determinando as cargas nas superfícies interna e externa da esfera oca
Como a esfera oca é condutora, a carga se distribui apenas nas superfícies interna e externa. Sabemos que dentro do condutor, o campo elétrico deve ser zero.
  1. Superfície interna (raio $ a $):
    A carga na superfície interna deve neutralizar a carga da esfera sólida para que não haja campo dentro do condutor. Assim:
a
  1. Superfície externa (raio $ b $):
    A carga total na esfera oca é $ q $. Já temos $ q_{interna} = -Q $, então a carga na superfície externa é:
qinterna + Q = 0 implies qinterna = -Q

Resposta

a) O campo elétrico em todo o espaço é:
E(r) = dfracQ r4pi varepsilon0 R^3 & para r < R dfracQ4pi varepsilon0 r^2 & para R < r < a 0 & para a < r < b dfracQ + q4pi varepsilon0 r^2 & para r > b
b) As cargas nas superfícies da esfera oca são:
  • Superfície interna: $ q_{interna} = -Q $
  • Superfície externa: $ q_{externa} = q + Q $

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