Uma esfera com raio 5 cm é aquecida em um forno mantido a uma temperatura constante de . A temperatura inicial uniforme da partícula é de . O coeficiente convectivo é . Determine a temperatura no centro da esfera e na superfície após 10 min de aquecimento.
Condutivdade térmica:
Calor específico:
Densidade:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede e identificar o que vamos precisar. Temos uma esfera com raio de 5 cm que está sendo aquecida em um forno com temperatura constante de . A temperatura inicial da esfera é de . Também temos alguns parâmetros físicos: o coeficiente convectivo é , a condutividade térmica é , o calor específico é e a densidade é . Queremos descobrir a temperatura no centro da esfera e na superfície após 10 minutos de aquecimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e transferência de calor convectiva.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos simplificar o problema usando o modelo de capacitância concentrada (ou modelo lumped). Para isso, calculamos o Número de Biot (Bi), que nos ajuda a entender se a temperatura dentro da esfera é praticamente uniforme ou se varia significativamente de um ponto a outro.
A fórmula do Número de Biot é:
Onde:
  • é o coeficiente convectivo,
  • é o comprimento característico,
  • é a condutividade térmica.
Para uma esfera, o comprimento característico é , onde é o raio da esfera.
Calculando :
Agora, calculamos o Número de Biot:
Como , isso indica que a temperatura dentro da esfera não é uniforme, ou seja, não podemos usar o modelo de capacitância concentrada. Precisamos considerar a condução de calor transiente na esfera.

Passo 3

Vamos agora considerar a equação de condução de calor transiente para uma esfera. A equação geral para a temperatura em função da posição e do tempo é dada por:
Onde é a difusividade térmica, calculada por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, precisamos determinar as condições iniciais e de contorno:
  • Condição inicial: A temperatura da esfera é uniforme e igual a .
  • Condição de contorno na superfície (r = R): A transferência de calor é por convecção com o forno, então usamos a condição de Newton para resfriamento:
    Onde é a temperatura do forno.
  • Simetria no centro (r = 0): A derivada da temperatura em relação a é zero:

Passo 5

Resolver a equação de condução de calor para uma esfera com essas condições é complexo e geralmente envolve soluções em série com funções de Bessel. Porém, para simplificar, podemos usar uma aproximação para estimar a temperatura no centro e na superfície após um tempo .
Usando a solução de Fourier para uma esfera, a temperatura em qualquer ponto pode ser expressa como uma série infinita. No entanto, para nosso propósito, vamos considerar apenas os primeiros termos da série para uma aproximação.
A solução aproximada para a temperatura em uma posição e tempo é:

Passo 6

Vamos agora calcular a temperatura na superfície ( ) e no centro ( ) após minutos, que é igual a segundos.
Para a superfície ( ):
Substituindo na equação:
Sabemos que e , então:
Calculando o expoente:
Então:
Multiplicando ambos os lados por :
Isso não faz sentido físico, indicando que a aproximação usada pode não ser adequada para este caso. Portanto, é necessário usar uma solução mais precisa ou métodos numéricos para obter resultados confiáveis.
Para o centro ( ):
Substituindo :
Usando o valor do expoente calculado anteriormente:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

Após 10 minutos de aquecimento, a temperatura no centro da esfera é aproximadamente e na superfície é cerca de . Contudo, devido à inconsistência física na temperatura da superfície, é recomendado utilizar métodos mais precisos para obter resultados confiáveis.

Exercícios relacionados

Um cilindro de cobre de 10 cm de comprimento e 5 cm de diâmetro é retirado do forno a e colocado em um banho de água . O coeficiente de transferência por convecção entre a superfície do cilindro e a água é . Determine a temperatura do cilindro após 2 minutos em contato com a água.
Densidade:
Calor específico:
Condutividade térmica:
Para cada afirmativa a seguir determine se é verdadeira ou falsa.
v) A radiação térmica é mais significativa em corpos opacos do que em corpos transparentes.
A diferença de temperatura em uma parede de um frigorífico é de . Sabendo que atravessam a parede de espessura 80 cm determine a condutividade térmica supondo a parede homogênea.
Calcule: (a) A taxa volumétrica de geração de calor no tubo. Resposta: 2,11×10