Um cilindro de cobre de 10 cm de comprimento e 5 cm de diâmetro é retirado do forno a 200 ^circ C e colocado em um banho de água 20^circ C. O coeficiente de transferência por convecção entre a superfície do cilindro e a água é 250 W / m^2 K. Determine a temperatura do cilindro após 2 minutos em contato com a água.
Densidade: 8960 kg / m^3
Calor específico: 385 J / kg K
Condutividade térmica: 400 W / m K

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro de cobre que está esfriando quando colocado em água. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre transferência de calor por convecção e calor específico. Vamos precisar das propriedades do cobre (como densidade e calor específico), as dimensões do cilindro, o tempo que ele fica na água, e o coeficiente de transferência de calor por convecção. Com isso, vamos calcular qual será a temperatura do cilindro após 2 minutos na água.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa do cilindro. Para isso, usamos a fórmula da massa:
m = rho times V
Onde:
  • é a massa,
  • é a densidade,
  • é o volume.

Passo 3

Vamos calcular o volume V = pi r^2 h do cilindro. A fórmula do volume de um cilindro é:
r = 52 = 2,5 cm = 0,025 m
Onde:
  • V = pi times (0,025)^2 times 0,10 approx pi times 0,000625 times 0,10 = pi times 0,0000625 approx 0,00019635 m^3 é o raio,
  • é a altura (comprimento do cilindro).
O diâmetro do cilindro é 5 cm, então o raio é metade disso:
E o comprimento é 10 cm, que é 0,10 m.
Então,

Passo 4

Agora, calculamos a massa m = rho times V = 8960 , kg/m^3 times 0,00019635 , m^3 approx 1,758 , kg usando a densidade:

Passo 5

Vamos usar a equação de resfriamento de Newton, que é:
dTdt = -h times Am times c times (T - Tágua) á
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • é a área de superfície do cilindro,
  • é a massa,
  • é o calor específico,
  • é a temperatura do cilindro,
  • á é a temperatura da água.
Vamos integrar essa equação para encontrar a temperatura após 2 minutos.

Passo 6

Primeiro, calculamos a área de superfície A = 2pi r h + 2pi r^2 do cilindro:
A = 2pi times 0,025 times 0,10 + 2pi times (0,025)^2 approx 0,0157 , m^2
Aqui, consideramos as duas bases circulares e a superfície lateral.
Usando e :

Passo 7

Agora, aplicamos a solução da equação de resfriamento de Newton:
T(t) = Tágua + (T0 - Tágua) e^-hAmc t áá
Onde:
  • é a temperatura inicial,
  • á,
  • .

Passo 8

Vamos substituir os valores na equação:
T(120) = 20 + (200 - 20) e^-250 times 0,01571,758 times 385 times 120
Primeiro, calculamos o expoente:
250 times 0,01571,758 times 385 times 120 approx 3,925677,23 times 120 approx 0,0058 times 120 approx 0,696
Então,
T(120) = 20 + 180 times e^-0,696 approx 20 + 180 times 0,499 approx 20 + 89,82 approx 109,82^circ C

Resposta

Após 2 minutos em contato com a água, a temperatura do cilindro de cobre é aproximadamente 110°C.

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