Uma esfera de sabão de raio R está muito seca em uma corrente de ar. Considere que a umidade do ar é constante e corresponde a uma concentração de umidade na superfície igual a CA 1. Se a concentração inicial de água na esfera for igual a CA 0, escreva a equação diferencial e as condições de contorno necessárias para descrever a concentração local de água como uma função do raio r e do tempo t. Considere que não existe resistência para transferência de massa entre a superfície da esfera e o ar, e que o coeficiente de difusão da água no interior da esfera é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre difusão de água em uma esfera de sabão que está exposta a uma corrente de ar seco. A gente precisa usar conceitos de difusão de massa para montar uma equação diferencial que descreva como a concentração de água varia dentro da esfera ao longo do tempo e do raio. Para isso, vamos precisar entender a Lei de Fick da difusão e aplicar as condições de contorno apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a difusão de uma substância, como a água, dentro de um meio (a esfera de sabão, no caso) é descrita pela Lei de Fick. A segunda lei de Fick nos dá uma equação diferencial que relaciona a variação da concentração com o tempo e o espaço.

Passo 3

Como estamos lidando com uma esfera, é mais conveniente usar as coordenadas esféricas. A equação de difusão na segunda lei de Fick em coordenadas esféricas fica assim:
partial Cpartial t = D ( 1r^2 partialpartial r ( r^2 partial Cpartial r ) )
Aqui:
  • $ C $ é a concentração de água,
  • $ t $ é o tempo,
  • $ r $ é a distância do centro da esfera,
  • $ D $ é o coeficiente de difusão da água na esfera.

Passo 4

Agora, vamos às condições de contorno. Essas condições são necessárias para resolver a equação diferencial e definem como o sistema se comporta nas fronteiras do domínio considerado.

Passo 5

A primeira condição de contorno está na superfície da esfera $ r = R $. Como não há resistência à transferência de massa entre a superfície da esfera e o ar, a concentração de água na superfície sempre será igual à concentração do ar $ C_{A1} $. Então, temos:
r = R

Passo 6

A segunda condição de contorno é a condição inicial, que nos diz qual era a concentração de água na esfera antes de começarmos a observar o processo de difusão. Segundo o enunciado, a concentração inicial é $ C_{A0} $. Assim:
CA0

Resposta

A equação diferencial que descreve a concentração de água na esfera é:
partial Cpartial t = D ( 1r^2 partialpartial r ( r^2 partial Cpartial r ) )
com as condições de contorno:
C(R, t) = CA1
e
C(r, 0) = CA0

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