Uma esfera sólida, AISI 1010 , com 1 cm de diâmetro, inicialmente a 15^circ C é colocada em uma corrente de ar, Tinfty=60^circ C. Estimar a equação que expressa a temperatura dessa esfera em função do tempo depois de ter sido colocada na corrente de ar quente. Estime a temperatura após 60 segundos.
aglomerados

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma esfera de aço AISI 1010 com 1 cm de diâmetro que está a 15°C e é colocada em um ar que está a 60°C. O que precisamos fazer é encontrar uma equação que mostre como a temperatura dessa esfera muda com o tempo e descobrir qual será a temperatura dela após 60 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especialmente a Lei de Resfriamento de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área de superfície da esfera, porque isso é importante para saber quanto calor troca com o ambiente. A fórmula da área de uma esfera é:
A = 4 pi r^2
Onde A = 4 times pi times (0,005)^2 approx 0,000314 , m^2 é o raio da esfera. Como o diâmetro é 1 cm, o raio é 0,5 cm, ou 0,005 metros.

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume da esfera, que é necessário para determinar a quantidade de calor que a esfera pode armazenar. A fórmula do volume de uma esfera é:
V = 43 pi r^3
Usando o mesmo raio de 0,005 metros:
V = 43 times pi times (0,005)^3 approx 5,24 times 10^-7 , m^3

Passo 4

Precisamos das propriedades do material da esfera. Para o aço AISI 1010:
  • Densidade ( ): aproximadamente
  • Capacidade calorífica específica ( ): cerca de

Passo 5

Vamos estimar o coeficiente de transferência de calor convectivo ( h approx 10 , W/(m^2cdotK) ) para o ar. Para ar em condições naturais de convecção, um valor típico é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a constante k = hArho V c que aparece na equação de resfriamento/aquecimento:
k = 10 times 0,0003147870 times 5,24 times 10^-7 times 460 approx 0,0127 , s^-1
Substituindo os valores que já temos:

Passo 7

Com T(t) = Tinfty - (Tinfty - T0) e^-kt encontrado, podemos montar a equação que descreve a temperatura da esfera em função do tempo T(t) = 60 - (60 - 15) e^-0,0127 t :
Onde:
  • (temperatura do ar)
  • (temperatura inicial da esfera)
Substituindo :

Passo 8

Finalmente, vamos calcular a temperatura após 60 segundos:
T(60) = 60 - 45 e^-0,0127 times 60
Primeiro, calculamos o expoente:
-0,0127 times 60 = -0,762
Agora, calculamos e^-0,762 approx 0,466 :
T(60) = 60 - 45 times 0,466 approx 60 - 20,97 = 39,03°C
Então:

Resposta

Após 60 segundos, a temperatura da esfera será aproximadamente 39,0°C.

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