Em uma esfera sólida condutora de raio
coloca-se uma quantidade de carga
de forma completamente aleatória. Calcule o potencial elétrico
em todos os pontos do espaço quando a distribuição de carga alcançar o equilíbrio. Explique.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera condutora sólida com raio $ A $, onde colocamos uma carga $ Q $ de forma aleatória. Nosso objetivo é calcular o potencial elétrico $ V $ em todos os pontos do espaço quando essa distribuição de carga está em equilíbrio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Coulomb, o conceito de potencial elétrico e as propriedades das distribuições de carga em condutores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando colocamos uma carga $ Q $ em um condutor. Em equilíbrio eletrostático, as cargas livres dentro do condutor se distribuem de maneira a minimizar a energia do sistema. Isso significa que todas as cargas vão se mover para a superfície externa do condutor. Então, mesmo que a carga seja colocada de forma aleatória inicialmente, no equilíbrio, ela ficará distribuída uniformemente na superfície da esfera.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o potencial elétrico $ V $ nos diferentes pontos do espaço. O potencial elétrico é uma medida da energia potencial por unidade de carga em um ponto no campo elétrico. Para uma distribuição esférica de carga, podemos usar resultados conhecidos da eletrostática.
Dentro do condutor (para $ r < A $), como as cargas estão na superfície, o campo elétrico dentro é zero. E, nesse caso, o potencial elétrico é constante e igual ao potencial na superfície.
Passo 4
Para fora do condutor (para $ r \geq A $), o potencial elétrico devido a uma esfera carregada uniformemente é o mesmo que o potencial de uma carga pontual $ Q $ situada no centro da esfera. Isso porque, pela Lei da Gauss, a distribuição esférica simétrica simplifica os cálculos.
A fórmula para o potencial elétrico fora da esfera é:
onde:
- $ V® $ é o potencial em um ponto a uma distância $ r $ do centro,
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Já dentro da esfera (para $ r < A
r = A $):
Portanto, para qualquer ponto dentro da esfera, o potencial elétrico é o mesmo:
Resposta
O potencial elétrico $ V $ em todos os pontos do espaço é dado por: