Um cilindro de massa M e raio R cm é colocado (inicialmente em repouso) no topo de uma rampa com um ângulo de inclinação theta e altura h. Sabendo que o cilindro ( I=M R^2 / 2, em relação ao centro de massa) rola sem deslizar até o final da rampa,
f) Se um aro de mesma massa e mesmo raio (I=M R^2) descesse a rampa, o tempo gasto seria maior ou menor? Por que?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Temos dois objetos rolando por uma rampa: um cilindro e um aro (ou anel). Ambos têm a mesma massa M e o mesmo raio R. O cilindro tem momento de inércia I = M R^22 e o aro tem I = M R^2. A pergunta é: se o aro desce a rampa, o tempo que ele leva para chegar ao final será maior ou menor do que o do cilindro? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física sobre movimento rotacional e como o momento de inércia afeta a aceleração e o tempo de descida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto rola sem deslizar, sua energia total é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação. A equação para a energia total E é:
E = 12 M v^2 + 12 I omega^2
Onde:
  • M é a massa do objeto,
  • v é a velocidade do centro de massa,
  • I é o momento de inércia,
  • omega é a velocidade angular.
Como o objeto está rolando sem deslizar, a velocidade linear v e a angular omega estão relacionadas pela equação:
v = omega R

Passo 3

Vamos agora relacionar a aceleração dos objetos. A força que faz o objeto descer a rampa é a componente do peso na direção da rampa, que é M g sin theta, onde g é a aceleração da gravidade e theta é o ângulo da rampa. Essa força acelera o objeto tanto na transladação quanto na rotação.
A aceleração a do objeto pode ser encontrada pela fórmula:
a = g sin theta1 + IM R^2
Essa equação mostra que a aceleração depende do momento de inércia I. Quanto maior o momento de inércia, menor será a aceleração.

Passo 4

Vamos calcular a aceleração para o cilindro e para o aro usando a fórmula acima.
Para o cilindro:
acilindro = g sin theta1 + M R^22M R^2 = g sin theta1 + 12 = g sin theta32 = 23 g sin theta
Para o aro:
aaro = g sin theta1 + M R^2M R^2 = g sin theta1 + 1 = g sin theta2 = 12 g sin theta

Passo 5

Observando as acelerações calculadas:
  • O cilindro tem uma aceleração de 23 g sin theta.
  • O aro tem uma aceleração de 12 g sin theta.
Como a aceleração do cilindro é maior do que a do aro, significa que o cilindro vai acelerar mais rapidamente ao descer a rampa.

Resposta

O aro leva mais tempo para descer a rampa do que o cilindro, porque ele tem um momento de inércia maior, o que resulta em uma aceleração menor.

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