Um cilindro de massa
e raio
cm é colocado (inicialmente em repouso) no topo de uma rampa com um ângulo de inclinação
e altura
. Sabendo que o cilindro (
, em relação ao centro de massa) rola sem deslizar até o final da rampa,
f) Se um aro de mesma massa e mesmo raio
descesse a rampa, o tempo gasto seria maior ou menor? Por que?
f) Se um aro de mesma massa e mesmo raio
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Temos dois objetos rolando por uma rampa: um cilindro e um aro (ou anel). Ambos têm a mesma massa
e o mesmo raio
. O cilindro tem momento de inércia
e o aro tem
. A pergunta é: se o aro desce a rampa, o tempo que ele leva para chegar ao final será maior ou menor do que o do cilindro? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física sobre movimento rotacional e como o momento de inércia afeta a aceleração e o tempo de descida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto rola sem deslizar, sua energia total é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação. A equação para a energia total
é:
Onde:
-
é a massa do objeto, -
é a velocidade do centro de massa, -
é o momento de inércia, -
é a velocidade angular.
Como o objeto está rolando sem deslizar, a velocidade linear
e a angular
estão relacionadas pela equação:
Passo 3
Vamos agora relacionar a aceleração dos objetos. A força que faz o objeto descer a rampa é a componente do peso na direção da rampa, que é
, onde
é a aceleração da gravidade e
é o ângulo da rampa. Essa força acelera o objeto tanto na transladação quanto na rotação.
A aceleração
do objeto pode ser encontrada pela fórmula:
Essa equação mostra que a aceleração depende do momento de inércia
. Quanto maior o momento de inércia, menor será a aceleração.
Passo 4
Vamos calcular a aceleração para o cilindro e para o aro usando a fórmula acima.
Para o cilindro:
Para o aro:
Passo 5
Observando as acelerações calculadas:
- O cilindro tem uma aceleração de
. - O aro tem uma aceleração de
.
Como a aceleração do cilindro é maior do que a do aro, significa que o cilindro vai acelerar mais rapidamente ao descer a rampa.
Resposta
O aro leva mais tempo para descer a rampa do que o cilindro, porque ele tem um momento de inércia maior, o que resulta em uma aceleração menor.