Uma esfera, sólida, homogênea e de massa 0,8 kg é abandonada de um ponto a 4 m de altura do solo em uma rampa curva. Uma mola ideal de constante elástica k=400 N/m é colocada no fim dessa rampa, conforme desenho abaixo. A esfera colide com a mola e provoca uma compressão.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma esfera sólida e homogênea de massa 0,8 kg sendo deixada de uma altura de 4 metros em uma rampa curva. No final dessa rampa, há uma mola ideal com constante elástica de 400 N/m. Quando a esfera bate na mola, ela vai comprimir a mola. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a compressão máxima que a mola vai sofrer quando a esfera a atinge.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia que a esfera tem antes de bater na mola. Como ela está parada a 4 metros de altura, ela possui energia potencial gravitacional. A fórmula para calcular essa energia é:
U = m cdot g cdot h
Onde:
  • $ U $ é a energia potencial gravitacional,
  • $ m $ é a massa da esfera (0,8 kg),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $),
  • $ h $ é a altura (4 m).
Vamos calcular isso:
U
Então, a esfera tem 31,36 joules de energia potencial gravitacional.

Passo 3

Quando a esfera desce pela rampa e chega na mola, essa energia potencial gravitacional vai se transformar em energia potencial elástica da mola. A fórmula para a energia potencial da mola é:
Umola = 12 k x^2
Onde:
  • $ U_{mola} $ é a energia potencial da mola,
  • $ k $ é a constante elástica da mola (400 N/m),
  • $ x $ é a compressão da mola que queremos encontrar.
Como toda a energia potencial gravitacional se transforma na energia da mola no ponto de compressão máxima, podemos igualar as duas equações:
Umola
Substituindo os valores que já conhecemos:
k

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ x $:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o 1/2:
x
Em seguida, dividimos ambos os lados por 400:
62,72 = 400 times x^2
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ x $:
x^2 = 62,72400 = 0,1568

Resposta

A mola será comprimida aproximadamente 0,396 metros quando a esfera a atingir.

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