O espaço entre duas cascas cilíndricas cocêntricas, de mesmo comprimento
, condutoras, de raios
e
com
, está preenchido por um material com resistividade
. Mostre que a resistência elétrica entre as cascas é expressa por
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas cascas cilíndricas cocêntricas, ou seja, uma dentro da outra, com mesmos comprimentos
e raios
e
(onde
). Essas cascas são condutoras e o espaço entre elas está preenchido por um material com resistividade
. Nosso objetivo é mostrar que a resistência elétrica entre essas cascas é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de resistência elétrica, resistividade, e como calcular a resistência em um material com geometria cilíndrica.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a resistência elétrica
de um material é dada pela fórmula:
onde:
-
é a resistividade do material, -
é o comprimento pelo qual a corrente passa, -
é a área da seção transversal perpendicular à corrente.
No nosso caso, a corrente passa radialmente do cilindro interno para o externo, então a “área” aqui não é uma área fixa, mas sim uma área que varia com a distância do centro.
Passo 3
Como a corrente está passando por camadas concêntricas, podemos considerar uma camada cilíndrica com raio
e espessura
. Para essa camada, a resistência diferencial
é:
Onde
é a área de superfície da camada cilíndrica através da qual a corrente está passando. Para um cilindro, essa área é a circunferência vezes o comprimento:
Passo 4
Substituindo
na expressão para
:
Agora, para encontrar a resistência total
entre os dois cilindros, precisamos integrar
de
até
:
Passo 5
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural:
Resposta
A resistência elétrica entre as cascas é: