O espaço entre duas cascas cilíndricas cocêntricas, de mesmo comprimento L, condutoras, de raios a e b com a, está preenchido por um material com resistividade rho. Mostre que a resistência elétrica entre as cascas é expressa por R=rho2 pi L ln (ba)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas cascas cilíndricas cocêntricas, ou seja, uma dentro da outra, com mesmos comprimentos R = rho2 pi L ln(ba) e raios e (onde ). Essas cascas são condutoras e o espaço entre elas está preenchido por um material com resistividade . Nosso objetivo é mostrar que a resistência elétrica entre essas cascas é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de resistência elétrica, resistividade, e como calcular a resistência em um material com geometria cilíndrica.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a resistência elétrica R = rho cdot LA de um material é dada pela fórmula:
onde:
  • é a resistividade do material,
  • é o comprimento pelo qual a corrente passa,
  • é a área da seção transversal perpendicular à corrente.
No nosso caso, a corrente passa radialmente do cilindro interno para o externo, então a “área” aqui não é uma área fixa, mas sim uma área que varia com a distância do centro.

Passo 3

Como a corrente está passando por camadas concêntricas, podemos considerar uma camada cilíndrica com raio dR = rho cdot drA(r) e espessura A(r) = 2 pi r L . Para essa camada, a resistência diferencial é:
Onde é a área de superfície da camada cilíndrica através da qual a corrente está passando. Para um cilindro, essa área é a circunferência vezes o comprimento:

Passo 4

Substituindo dR = rho cdot dr2 pi r L na expressão para R = integrala^b rho2 pi L cdot 1r dr :
Agora, para encontrar a resistência total entre os dois cilindros, precisamos integrar de até :

Passo 5

A integral de R = rho2 pi L integrala^b 1r dr = rho2 pi L [ ln(r) ]a^b = rho2 pi L ln(ba) em relação a é o logaritmo natural:

Resposta

A resistência elétrica entre as cascas é:
R = rho2 pi L ln(ba)

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