Um indicador de nível de combustível usa um capacitor para determinar a altura atingida pelo combustível em um tanque. A constante dielétrica efetiva Kf f varia de um valor igual a 1 , quando o tanque está vazio, até um valor K, a constante dielétrica do combustível, quando o tanque está cheio. Um circuito eletrônico apropriado pode determinar a constante dielétrica efetiva da camada de ar combinada à camada do combustível entre as placas do capacitor. Cada uma das duas placas retangulares possui largura w e comprimento L (Figura P24.68). A altura do combustível entre as placas é h. Despreze qualquer efeito de borda. (a) Deduza a expressão para Ke f em função de h. (b) Qual é a constante dielétrica efetiva quando o tanque está cheio até 14 de seu volume, 12 de volume e até 34 de volume, se o combustível for gasolina ( K=1,95 )? © Repita a parte (b) para o metanol ( K=33,0 ). (d) Para qual dos dois fluidos esse indicador do nível de combustível é
Figura P24.68

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um indicador de nível de combustível que usa um capacitor para medir a altura do combustível no tanque. A matéria aqui envolve capacitores e constantes dielétricas. Vamos precisar lembrar como os capacitores funcionam com diferentes materiais entre as placas e como calcular a constante dielétrica efetiva quando temos duas camadas diferentes, no caso, ar e combustível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o capacitor no indicador tem duas camadas entre as placas: uma de ar e outra de combustível. A constante dielétrica efetiva, , depende da altura do combustível. Quando o tanque está vazio ( ), só tem ar, então . Quando está cheio, só tem combustível, então .

Passo 3

Para deduzir a expressão de 1Cef = 1Car + 1Ccomb em função de , vamos considerar que as duas camadas (ar e combustível) formam capacitores em série. A capacitância total de capacitores em série é dada por:
onde é a capacitância da camada de ar e é a capacitância da camada de combustível.

Passo 4

Sabemos que a capacitância de um capacitor é:
C = K epsilon0 w Ld
onde:
  • é a constante dielétrica,
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a largura,
  • é o comprimento,
  • é a distância entre as placas.
No nosso caso, a distância total entre as placas é a altura total do tanque, que vamos chamar de . A altura do combustível é e a do ar é .

Passo 5

Então, as capacitâncias das camadas são:
Car = 1 cdot epsilon0 w LD - h
Ccomb = K epsilon0 w Lh
Substituindo na fórmula dos capacitores em série:
1Cef = D - hepsilon0 w L + hK epsilon0 w L

Passo 6

Simplificando a expressão:
1Cef = D - h + hKepsilon0 w L
Portanto:
Cef = epsilon0 w LD - h + hK

Passo 7

Agora, queremos expressar Cef = Kef epsilon0 w LD também na forma:
Kef epsilon0 w LD = epsilon0 w LD - h + hK
Igualando as duas expressões para KefD = 1D - h + hK :
Kef = DD - h + hK
Cancelando dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Para simplificar ainda mais, supondo que Kef = 11 - hD + hK D = 11 - hD(1 - 1K) é constante, podemos deixar a expressão dependente apenas de Kef = K1 + h ( K - 1D ) :
Mas, para manter a expressão mais clara em função de , podemos deixar:

Passo 9

Resumindo, a constante dielétrica efetiva Kef = 1D - hD + hK D = K DD - h + hK em função da altura do combustível é:

Resposta

A expressão para a constante dielétrica efetiva Kef = K DD - h + hK em função da altura do combustível é:

Exercícios relacionados