Um indicador de nível de combustível usa um capacitor para determinar a altura atingida pelo combustível em um tanque. A constante dielétrica efetiva
varia de um valor igual a 1 , quando o tanque está vazio, até um valor
, a constante dielétrica do combustível, quando o tanque está cheio. Um circuito eletrônico apropriado pode determinar a constante dielétrica efetiva da camada de ar combinada à camada do combustível entre as placas do capacitor. Cada uma das duas placas retangulares possui largura w e comprimento
(Figura P24.68). A altura do combustível entre as placas é
. Despreze qualquer efeito de borda. (a) Deduza a expressão para
em função de
. (b) Qual é a constante dielétrica efetiva quando o tanque está cheio até
de seu volume,
de volume e até
de volume, se o combustível for gasolina (
)? © Repita a parte (b) para o metanol (
). (d) Para qual dos dois fluidos esse indicador do nível de combustível é
Figura P24.68
Figura P24.68
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um indicador de nível de combustível que usa um capacitor para medir a altura do combustível no tanque. A matéria aqui envolve capacitores e constantes dielétricas. Vamos precisar lembrar como os capacitores funcionam com diferentes materiais entre as placas e como calcular a constante dielétrica efetiva quando temos duas camadas diferentes, no caso, ar e combustível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o capacitor no indicador tem duas camadas entre as placas: uma de ar e outra de combustível. A constante dielétrica efetiva,
, depende da altura
do combustível. Quando o tanque está vazio (
), só tem ar, então
. Quando está cheio, só tem combustível, então
.
Passo 3
Para deduzir a expressão de
em função de
, vamos considerar que as duas camadas (ar e combustível) formam capacitores em série. A capacitância total
de capacitores em série é dada por:
onde
é a capacitância da camada de ar e
é a capacitância da camada de combustível.
Passo 4
Sabemos que a capacitância de um capacitor é:
onde:
-
é a constante dielétrica, -
é a permissividade do vácuo, -
é a largura, -
é o comprimento, -
é a distância entre as placas.
No nosso caso, a distância total entre as placas é a altura total do tanque, que vamos chamar de
. A altura do combustível é
e a do ar é
.
Passo 5
Então, as capacitâncias das camadas são:
Substituindo na fórmula dos capacitores em série:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Portanto:
Passo 7
Agora, queremos expressar
também na forma:
Igualando as duas expressões para
:
Cancelando
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Para simplificar ainda mais, supondo que
é constante, podemos deixar a expressão dependente apenas de
:
Mas, para manter a expressão mais clara em função de
, podemos deixar:
Passo 9
Resumindo, a constante dielétrica efetiva
em função da altura
do combustível é:
Resposta
A expressão para a constante dielétrica efetiva
em função da altura
do combustível é: