Um astronauta de 120 kg faz um passeio pelo espaço, ligado a nave por uma corda de 180 m de comprimento, completamente estendida. Sem querer, ele aciona o seu aparelho de propulsão, que lhe dá uma velocidade tangencial de 2,5 m / s. Para retornar à nave, ele puxa a corda lentamente a uma velocidade constante. Qual será sua velocidade tangencial?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Um astronauta de 120 kg está preso à nave por uma corda de 180 metros. Ele aciona seu propulsor e ganha uma velocidade tangencial de 2,5 m/s. Depois, ele puxa a corda lentamente a uma velocidade constante para retornar à nave. Queremos descobrir qual será sua nova velocidade tangencial após puxar a corda.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática circular e leis de conservação do momento angular para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular L = m cdot v cdot r de um objeto em movimento circular é dado por:
onde:
  • é a massa do objeto,
  • é a velocidade tangencial,
  • é o raio da trajetória circular.

Passo 3

No início, o astronauta tem uma velocidade tangencial de Li = m cdot vi cdot ri = 120 , kg cdot 2,5 , m/s cdot 180 , m = 54,000 , kg·m^2/s e está a uma distância de da nave. Vamos calcular o momento angular inicial :

Passo 4

Quando o astronauta puxa a corda a uma velocidade constante, ele está diminuindo o raio de sua trajetória. Se ele faz isso lentamente e sem aplicar torque adicional, podemos assumir que o momento angular é conservado, ou seja, .

Passo 5

Vamos chamar a velocidade final de Li = Lf implies m cdot vi cdot ri = m cdot vf cdot rf e o novo raio de vi cdot ri = vf cdot rf . A conservação do momento angular nos dá:
Podemos simplificar a massa dos dois lados:

Passo 6

Queremos encontrar drdt = -u , mas não temos o valor de . No entanto, como a velocidade de puxar a corda é constante, podemos relacionar a variação de com a variação de . Se a velocidade de reduzir a corda for , então:
Mas para simplificar, vamos considerar que o astronauta puxa a corda até retornar completamente à nave, ou seja, . Nesse caso, porém, a velocidade tangencial tenderia ao infinito, o que não é fisicamente possível.
Isso nos indica que, na prática, não chega a zero, mas diminui de forma que a velocidade tangencial aumenta proporcionalmente para conservar o momento angular.

Passo 7

Como não temos mais informações sobre a velocidade de puxar a corda ou o novo raio, podemos expressar a velocidade final vf = vi cdot rirf em termos do raio final :
Isso mostra que, à medida que o raio diminui, a velocidade tangencial aumenta inversamente.

Resposta

A velocidade tangencial final do astronauta será vf = 2,5 , m/s times 180 , mrf , ou seja:
onde é o novo comprimento da corda após ser puxada.

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