Um astronauta de 120 kg faz um passeio pelo espaço, ligado a nave por uma corda de 180 m de comprimento, completamente estendida. Sem querer, ele aciona o seu aparelho de propulsão, que lhe dá uma velocidade tangencial de
. Para retornar à nave, ele puxa a corda lentamente a uma velocidade constante. Qual será sua velocidade tangencial?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Um astronauta de 120 kg está preso à nave por uma corda de 180 metros. Ele aciona seu propulsor e ganha uma velocidade tangencial de 2,5 m/s. Depois, ele puxa a corda lentamente a uma velocidade constante para retornar à nave. Queremos descobrir qual será sua nova velocidade tangencial após puxar a corda.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática circular e leis de conservação do momento angular para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular
de um objeto em movimento circular é dado por:
onde:
-
é a massa do objeto, -
é a velocidade tangencial, -
é o raio da trajetória circular.
Passo 3
No início, o astronauta tem uma velocidade tangencial de
e está a uma distância de
da nave. Vamos calcular o momento angular inicial
:
Passo 4
Quando o astronauta puxa a corda a uma velocidade constante, ele está diminuindo o raio
de sua trajetória. Se ele faz isso lentamente e sem aplicar torque adicional, podemos assumir que o momento angular é conservado, ou seja,
.
Passo 5
Vamos chamar a velocidade final de
e o novo raio de
. A conservação do momento angular nos dá:
Podemos simplificar a massa
dos dois lados:
Passo 6
Queremos encontrar
, mas não temos o valor de
. No entanto, como a velocidade de puxar a corda é constante, podemos relacionar a variação de
com a variação de
. Se a velocidade de reduzir a corda for
, então:
Mas para simplificar, vamos considerar que o astronauta puxa a corda até retornar completamente à nave, ou seja,
. Nesse caso, porém, a velocidade tangencial tenderia ao infinito, o que não é fisicamente possível.
Isso nos indica que, na prática,
não chega a zero, mas diminui de forma que a velocidade tangencial aumenta proporcionalmente para conservar o momento angular.
Passo 7
Como não temos mais informações sobre a velocidade de puxar a corda ou o novo raio, podemos expressar a velocidade final
em termos do raio final
:
Isso mostra que, à medida que o raio diminui, a velocidade tangencial aumenta inversamente.
Resposta
A velocidade tangencial final do astronauta será
, ou seja:
onde
é o novo comprimento da corda após ser puxada.