Um espelho esférico é utilizado para formar uma imagem 5,00 vezes o tamanho de um objeto numa tela localizada a 5,00 m deste. (a) O espelho necessário deve ser côncavo ou convexo? (b) Qual é o raio de curvatura necessário para o espelho? © Onde o espelho deve ser posicionado em relação ao objeto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um espelho esférico que forma uma imagem 5 vezes maior que o objeto e essa imagem está a 5 metros do espelho. Vamos usar conceitos de óptica geométrica para resolver esse exercício. Precisaremos entender sobre espelhos côncavos e convexos, o conceito de ampliação e as fórmulas básicas dos espelhos esféricos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de espelho é necessário. Sabemos que espelhos côncavos podem formar imagens reais e virtuais que são ampliadas, dependendo da posição do objeto. Já os convexos sempre formam imagens virtuais e reduzidas. Como a imagem é 5 vezes maior, o espelho deve ser côncavo.

Passo 3

Agora, vamos determinar o raio de curvatura necessário. Para isso, usamos a fórmula da ampliação (M) e a equação do espelho.
A ampliação é dada por:
M = hiho = -dido
Onde:
  • 5 = -5do é a altura da imagem
  • do = -1 , m é a altura do objeto
  • é a distância da imagem ao espelho
  • é a distância do objeto ao espelho
Sabemos que e . Então:
Resolvendo para :
(O sinal negativo indica que o objeto está na frente do espelho, conforme a convenção dos sinais.)

Passo 4

Com 1f = 1do + 1di e 1f = 1-1 + 15 = -1 + 0,2 = -0,8 , podemos usar a equação do espelho para encontrar a distância focal ( f = -10,8 = -1,25 , m ):
Substituindo os valores:
Então:
(O sinal negativo indica que a distância focal também é negativa, característica de espelhos côncavos.)

Passo 5

Finalmente, o raio de curvatura ( R = 2f ) está relacionado à distância focal pela fórmula:
R = 2 times (-1,25) = -2,5 , m
Substituindo o valor de :
(O raio de curvatura negativo confirma que estamos lidando com um espelho côncavo.)

Resposta

a) O espelho deve ser côncavo;
b) O raio de curvatura necessário é de 2,50 metros;
c) O espelho deve ser posicionado a 1,00 metro em relação ao objeto.

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