Um espelho esférico é utilizado para formar uma imagem 5,00 vezes o tamanho de um objeto numa tela localizada a 5,00 m deste. (a) O espelho necessário deve ser côncavo ou convexo? (b) Qual é o raio de curvatura necessário para o espelho? © Onde o espelho deve ser posicionado em relação ao objeto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um espelho esférico que forma uma imagem 5 vezes maior que o objeto e essa imagem está a 5 metros do espelho. Vamos usar conceitos de óptica geométrica para resolver esse exercício. Precisaremos entender sobre espelhos côncavos e convexos, o conceito de ampliação e as fórmulas básicas dos espelhos esféricos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de espelho é necessário. Sabemos que espelhos côncavos podem formar imagens reais e virtuais que são ampliadas, dependendo da posição do objeto. Já os convexos sempre formam imagens virtuais e reduzidas. Como a imagem é 5 vezes maior, o espelho deve ser côncavo.
Passo 3
Agora, vamos determinar o raio de curvatura necessário. Para isso, usamos a fórmula da ampliação (M) e a equação do espelho.
A ampliação é dada por:
Onde:
-
é a altura da imagem -
é a altura do objeto -
é a distância da imagem ao espelho -
é a distância do objeto ao espelho
Sabemos que
e
. Então:
Resolvendo para
:
(O sinal negativo indica que o objeto está na frente do espelho, conforme a convenção dos sinais.)
Passo 4
Com
e
, podemos usar a equação do espelho para encontrar a distância focal (
):
Substituindo os valores:
Então:
(O sinal negativo indica que a distância focal também é negativa, característica de espelhos côncavos.)
Passo 5
Finalmente, o raio de curvatura (
) está relacionado à distância focal pela fórmula:
Substituindo o valor de
:
(O raio de curvatura negativo confirma que estamos lidando com um espelho côncavo.)
Resposta
a) O espelho deve ser côncavo;
b) O raio de curvatura necessário é de 2,50 metros;
c) O espelho deve ser posicionado a 1,00 metro em relação ao objeto.
b) O raio de curvatura necessário é de 2,50 metros;
c) O espelho deve ser posicionado a 1,00 metro em relação ao objeto.