Um objeto está a uma distância d à esquerda de uma tela plana. Uma lente convergente de distância focal f é colocada entre o objeto e a tela. (a) Mostre que existem duas posições da lente que formam uma imagem na tela e determine quão longe estas posições estão do objeto.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um objeto a uma distância da tela plana. Entre o objeto e a tela, colocamos uma lente convergente com distância focal , que é menor que . Nosso objetivo aqui é mostrar que existem duas posições diferentes para a lente que fazem com que a imagem do objeto apareça exatamente na tela. Além disso, vamos descobrir a que distância essas duas posições estão do objeto. Para resolver isso, vamos usar a fórmula das lentes finas e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula das lentes finas, que relaciona a distância do objeto ( 1f = 1s + 1s' ), a distância da imagem ( ) e a distância focal ( ) da lente:
Essa fórmula nos ajuda a entender como a lente forma a imagem do objeto.

Passo 3

Como a imagem precisa ficar exatamente na tela, a distância total entre o objeto e a tela é s + s' = d Rightarrow s' = d - s . Isso significa que a soma das distâncias do objeto até a lente ( ) e da lente até a imagem ( ) deve ser igual a :
Vamos substituir na fórmula das lentes finas.

Passo 4

Substituindo 1f = 1s + 1d - s na fórmula das lentes finas:
Para resolver essa equação, vamos encontrar um denominador comum e simplificar.

Passo 5

Multiplicando tudo por s(d - s)f = (d - s) + s para eliminar os denominadores:
s(d - s)f = d
Simplificando o lado direito:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por s(d - s) = f cdot d para isolar os termos:
sd - s^2 = f d
Expandindo o lado esquerdo:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
s^2 - sd + f d = 0
Essa é uma equação quadrática na variável . Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 8

A fórmula de Bhaskara para resolver s = -b pm raizb^2 - 4ac2a é:
Aqui, , e . Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 9

Substituindo na fórmula de Bhaskara:
s = d pm raizd^2 - 4 cdot 1 cdot f d2
Simplificando a expressão dentro da raiz:
s = d pm raizd^2 - 4 f d2

Passo 10

Vamos fatorar s = d pm raizd(d - 4f)2 dentro da raiz:
Como , o termo dentro da raiz é positivo, garantindo duas soluções reais para .

Passo 11

Finalmente, temos as duas possíveis posições da lente em relação ao objeto:
s1 = d + raizd(d - 4f)2
s2 = d - raizd(d - 4f)2
Essas são as duas distâncias a que a lente pode estar do objeto para formar a imagem na tela.

Resposta

As duas posições da lente estão a uma distância de do objeto.

Exercícios relacionados