Um objeto está a uma distância
à esquerda de uma tela plana. Uma lente convergente de distância focal
é colocada entre o objeto e a tela. (a) Mostre que existem duas posições da lente que formam uma imagem na tela e determine quão longe estas posições estão do objeto.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um objeto a uma distância
da tela plana. Entre o objeto e a tela, colocamos uma lente convergente com distância focal
, que é menor que
. Nosso objetivo aqui é mostrar que existem duas posições diferentes para a lente que fazem com que a imagem do objeto apareça exatamente na tela. Além disso, vamos descobrir a que distância essas duas posições estão do objeto. Para resolver isso, vamos usar a fórmula das lentes finas e um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula das lentes finas, que relaciona a distância do objeto (
), a distância da imagem (
) e a distância focal (
) da lente:
Essa fórmula nos ajuda a entender como a lente forma a imagem do objeto.
Passo 3
Como a imagem precisa ficar exatamente na tela, a distância total entre o objeto e a tela é
. Isso significa que a soma das distâncias do objeto até a lente (
) e da lente até a imagem (
) deve ser igual a
:
Vamos substituir
na fórmula das lentes finas.
Passo 4
Substituindo
na fórmula das lentes finas:
Para resolver essa equação, vamos encontrar um denominador comum e simplificar.
Passo 5
Multiplicando tudo por
para eliminar os denominadores:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para isolar os termos:
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
Essa é uma equação quadrática na variável
. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 8
A fórmula de Bhaskara para resolver
é:
Aqui,
,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 9
Substituindo na fórmula de Bhaskara:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 10
Vamos fatorar
dentro da raiz:
Como
, o termo dentro da raiz é positivo, garantindo duas soluções reais para
.
Passo 11
Finalmente, temos as duas possíveis posições da lente em relação ao objeto:
Essas são as duas distâncias a que a lente pode estar do objeto para formar a imagem na tela.
Resposta
As duas posições da lente estão a uma distância de
do objeto.