Uma espira quadrada de 50 cm de lado encontra-se localizada no plano xy, z=0, centralizada em torno da origem; nela circula uma corrente de 5,0 A no sentido horário (para quem observa a espira a partir do ponto ( 0,0,10 )). Calcular o vetor torque nessa espira, em relação a uma origem no ponto A quando colocada no campo B, onde:
A(0,0,0) e B=200 ax+100 ay mT;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma espira quadrada de 50 cm de lado, com uma corrente de 5,0 A circulando nela no sentido horário. Essa espira está no plano $ xy $ e é centralizada na origem. Queremos calcular o vetor torque que age nessa espira quando ela está sujeita a um campo magnético $ \mathbf{B} = 200 \hat{\mathbf{a}}{x} + 100 \hat{\mathbf{a}}{y} $ mT, em relação ao ponto A na origem.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre torque em circuitos elétricos, especificamente a relação entre momento magnético, campo magnético e torque. Vamos seguir passo a passo para não deixar nenhuma dúvida!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da espira quadrada. Como cada lado mede 50 cm, ou seja, 0,5 metros, a área $ A $ é:
A ²

Passo 3

Agora, precisamos determinar o momento magnético $ \mathbf{m} $ da espira. A fórmula para o momento magnético é:
m
onde:
  • $ I $ é a corrente,
  • $ A $ é a área,
  • $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à espira.
A corrente está circulando no sentido horário quando vista de cima (ponto $ (0,0,10) $). Pela regra da mão direita, isso significa que o vetor normal $ \mathbf{n} $ está apontando para baixo, ou seja, na direção negativa do eixo $ z $:
m = I times A times n

Passo 4

Vamos calcular o momento magnético $ \mathbf{m} $:
m ²²

Passo 5

Com o momento magnético conhecido, podemos calcular o torque $ \boldsymbol{\tau} $ usando a fórmula:
tau
Temos $ \mathbf{m} = -1,25, \hat{\mathbf{a}}{z} $ A·m² e $ \mathbf{B} = 200, \hat{\mathbf{a}}{x} + 100, \hat{\mathbf{a}}_{y} $ mT. Primeiro, vamos converter o campo magnético para tesla:
tau = m times B

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \mathbf{m} \times \mathbf{B} $:
m times B
Usando as regras de produto vetorial:
tau = (-1,25, az) times (0,2, ax + 0,1, ay)
Sabemos que:
tau = -1,25 ( az times 0,2, ax + az times 0,1, ay )
Portanto:
az times ax = ay e az times ay = -ax
tau = -1,25 ( 0,2, ay - 0,1, ax ) = -1,25 times 0,2, ay + 1,25 times 0,1, ax

Resposta

O vetor torque na espira é:
tau = 0,125, ax - 0,25, ay N·m

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