Seja um ioiô realizando um movimento de descida ao desenrolar o fio. Sendo Icm o momento de inércia do ioiô com relação ao centro de massa (CM), X a posição do (CM) e r o raio interno onde o fio está enrolado, calcule a tração T1 que está localizada em X e a aceleração do sistema X. Utilizando a conservação da energia obtenha também a velocidade X .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem um ioiô descendo enquanto desenrola o fio. As informações que temos são:
- $ I_{cm} $: momento de inércia do ioiô em relação ao centro de massa.
- $ X $: posição do centro de massa.
- $ r $: raio interno onde o fio está enrolado.
Precisamos encontrar:
- A tração $ T_1 $ que atua em $ X $.
- A aceleração do sistema $ X $.
- A velocidade de $ X $ usando a conservação da energia.
Para resolver, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no ioiô. Quando o ioiô desce, a força da gravidade $ mg $ puxa para baixo e a tração $ T_1 $ do fio puxa para cima. A diferença entre essas forças vai determinar a aceleração do centro de massa.
A segunda coisa é que, enquanto o ioiô desce, o fio desenrola e o ioiô gira. Então, temos movimento de translação (descida) e rotação simultânea.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a translação. A força resultante é $ mg - T_1 $, e essa será igual à massa vezes a aceleração $ a $:
Essa é a primeira equação que vamos usar.
Passo 4
Agora, vamos considerar a rotação do ioiô. O torque $ \tau $ gerado pela tração $ T_1 $ faz o ioiô girar. O torque é dado por:
E, segundo a segunda lei de Newton para rotação:
Onde $ \alpha $ é a aceleração angular. Como o fio está desenrolando sem deslizar, a aceleração angular $ \alpha $ está relacionada com a aceleração linear $ a $ pela relação:
Substituindo essa relação na equação do torque:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos duas equações:
- $ mg - T_1 = ma $
- $ T_1 = \frac{I_{cm} \cdot a}{r^2} $
Vamos substituir a segunda equação na primeira para resolver para $ a $:
Rearranjando os termos:
Fatorando $ a $:
Isolando $ a $:
Passo 6
Com a aceleração $ a $ encontrada, podemos calcular a tração $ T_1 $ usando a equação $ T_1 = \frac{I_{cm} \cdot a}{r^2} $:
Substituindo $ a $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos usar a conservação da energia para encontrar a velocidade $ v $ do centro de massa quando o ioiô desceu uma certa altura $ h
E_p
E_{c, trans}
E_{c, rot} $):
Expressando cada termo:
Como o fio não desliza, $ \omega = \frac{v}{r} $. Substituindo:
Simplificando:
Fatorando $ v^2 $:
Isolando $ v $:
Resposta
A tração $ T_1 $ é dada por:
A aceleração do sistema $ X $ é:
E a velocidade $ v $ de $ X $ obtida pela conservação da energia é: