Seja um ioiô realizando um movimento de descida ao desenrolar o fio. Sendo Icm o momento de inércia do ioiô com relação ao centro de massa (CM), X a posição do (CM) e r o raio interno onde o fio está enrolado, calcule a tração T1 que está localizada em X e a aceleração do sistema X. Utilizando a conservação da energia obtenha também a velocidade X .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem um ioiô descendo enquanto desenrola o fio. As informações que temos são:
  • $ I_{cm} $: momento de inércia do ioiô em relação ao centro de massa.
  • $ X $: posição do centro de massa.
  • $ r $: raio interno onde o fio está enrolado.
Precisamos encontrar:
  1. A tração $ T_1 $ que atua em $ X $.
  2. A aceleração do sistema $ X $.
  3. A velocidade de $ X $ usando a conservação da energia.
Para resolver, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no ioiô. Quando o ioiô desce, a força da gravidade $ mg $ puxa para baixo e a tração $ T_1 $ do fio puxa para cima. A diferença entre essas forças vai determinar a aceleração do centro de massa.
A segunda coisa é que, enquanto o ioiô desce, o fio desenrola e o ioiô gira. Então, temos movimento de translação (descida) e rotação simultânea.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a translação. A força resultante é $ mg - T_1 $, e essa será igual à massa vezes a aceleração $ a $:
mg - T1
Essa é a primeira equação que vamos usar.

Passo 4

Agora, vamos considerar a rotação do ioiô. O torque $ \tau $ gerado pela tração $ T_1 $ faz o ioiô girar. O torque é dado por:
tau
E, segundo a segunda lei de Newton para rotação:
T1
Onde $ \alpha $ é a aceleração angular. Como o fio está desenrolando sem deslizar, a aceleração angular $ \alpha $ está relacionada com a aceleração linear $ a $ pela relação:
tau = T1 cdot r
Substituindo essa relação na equação do torque:
tau = Icm cdot alpha
Simplificando:
alpha

Passo 5

Agora temos duas equações:
  1. $ mg - T_1 = ma $
  2. $ T_1 = \frac{I_{cm} \cdot a}{r^2} $
Vamos substituir a segunda equação na primeira para resolver para $ a $:
mg - T1 = ma
Rearranjando os termos:
T1 = Icm cdot ar^2
Fatorando $ a $:
a
Isolando $ a $:
mg - Icm cdot ar^2 = ma

Passo 6

Com a aceleração $ a $ encontrada, podemos calcular a tração $ T_1 $ usando a equação $ T_1 = \frac{I_{cm} \cdot a}{r^2} $:
Substituindo $ a $:
a
Simplificando:
T1
T1 = Icm cdot ar^2

Passo 7

Agora, vamos usar a conservação da energia para encontrar a velocidade $ v $ do centro de massa quando o ioiô desceu uma certa altura $ h v E_p h éçã E_{c, trans} Ep éçã E_{c, rot} $):
Ec, trans
Expressando cada termo:
Ec, rot
Como o fio não desliza, $ \omega = \frac{v}{r} $. Substituindo:
Ep = Ec, trans + Ec, rot
Simplificando:
mgh = 12mv^2 + 12Icmomega^2
Fatorando $ v^2 $:
omega = vr
Isolando $ v $:
mgh = 12mv^2 + 12Icm( vr )^2
mgh = 12mv^2 + 12Icmv^2r^2

Resposta

A tração $ T_1 $ é dada por:
T1
A aceleração do sistema $ X $ é:
T1 = Icm cdot mgmr^2 + Icm
E a velocidade $ v $ de $ X $ obtida pela conservação da energia é:
X

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