Uma espira quadrada de 50 cm de lado encontra-se localizada no plano
, centralizada em torno da origem; nela circula uma corrente de 5,0 A no sentido horário (para quem observa a espira a partir do ponto (
)). Calcular o vetor torque nessa espira, em relação a uma origem no ponto A quando colocada no campo
, onde:
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma espira quadrada com lados de 50 cm (0,5 metros) que está no plano $ xy $ e centralizada na origem. Nessa espira, circula uma corrente de 5,0 A no sentido horário quando vista de cima. Queremos calcular o vetor torque dessa espira em relação a um ponto A com coordenadas (3, 6, 9) quando ela é colocada em um campo magnético $ \mathbf{B} = 200 \hat{\mathbf{a}}{x} + 100 \hat{\mathbf{a}}{y} - 300 \hat{\mathbf{a}}_{z} $ mT. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque em correntes elétricas e como calcular o momento magnético.
Passo 2
Vamos começar calculando o momento magnético $ \boldsymbol{\mu} $ da espira. O momento magnético é dado por:
onde:
- $ I $ é a corrente (5,0 A),
- $ A $ é a área da espira,
- $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à espira.
A espira é quadrada com lado de 0,5 m, então a área $ A $ é:
Passo 3
Agora, precisamos determinar o vetor normal $ \mathbf{n} $. A espira está no plano $ xy $, então o vetor normal aponta ao longo do eixo $ z $. Como a corrente é no sentido horário quando vista de cima (pelo ponto (0,0,10)), o vetor normal aponta na direção negativa de $ z $:
Passo 4
Calculando o momento magnético $ \boldsymbol{\mu} $:
Passo 5
Agora, vamos calcular o torque $ \boldsymbol{\tau} $ sobre a espira. O torque é dado por:
Onde $ \times $ representa o produto vetorial.
Primeiro, precisamos converter o campo magnético $ \mathbf{B} $ de militesla para tesla:
Simplificando:
Passo 6
Agora, fazemos o produto vetorial $ \boldsymbol{\mu} \times \mathbf{B} $:
Calculando cada componente:
Sabendo que:
Então:
Passo 7
Por fim, temos o vetor torque em relação à origem na origem (centro da espira). Porém, a questão pede em relação ao ponto A(3,6,9). Para isso, precisamos considerar o deslocamento do centro para o ponto A.
O torque em relação a um ponto diferente envolve não apenas $ \boldsymbol{\mu} \times \mathbf{B} $, mas também o momento da força devido à posição do centro no campo magnético. No entanto, se o campo magnético é uniforme, o torque adicional devido ao deslocamento é zero. Portanto, o torque calculado permanece o mesmo.
Resposta
O vetor torque na espira em relação ao ponto A é: