Uma espira quadrada de 50 cm de lado encontra-se localizada no plano xy, z=0, centralizada em torno da origem; nela circula uma corrente de 5,0 A no sentido horário (para quem observa a espira a partir do ponto ( 0,0,10 )). Calcular o vetor torque nessa espira, em relação a uma origem no ponto A quando colocada no campo B, onde:
A(3,6,9) e B=200 ax+100 ay ^- 300 az mT.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma espira quadrada com lados de 50 cm (0,5 metros) que está no plano $ xy $ e centralizada na origem. Nessa espira, circula uma corrente de 5,0 A no sentido horário quando vista de cima. Queremos calcular o vetor torque dessa espira em relação a um ponto A com coordenadas (3, 6, 9) quando ela é colocada em um campo magnético $ \mathbf{B} = 200 \hat{\mathbf{a}}{x} + 100 \hat{\mathbf{a}}{y} - 300 \hat{\mathbf{a}}_{z} $ mT. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de torque em correntes elétricas e como calcular o momento magnético.

Passo 2

Vamos começar calculando o momento magnético $ \boldsymbol{\mu} $ da espira. O momento magnético é dado por:
mu
onde:
  • $ I $ é a corrente (5,0 A),
  • $ A $ é a área da espira,
  • $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à espira.
A espira é quadrada com lado de 0,5 m, então a área $ A $ é:
mu = I cdot A cdot n

Passo 3

Agora, precisamos determinar o vetor normal $ \mathbf{n} $. A espira está no plano $ xy $, então o vetor normal aponta ao longo do eixo $ z $. Como a corrente é no sentido horário quando vista de cima (pelo ponto (0,0,10)), o vetor normal aponta na direção negativa de $ z $:
n

Passo 4

Calculando o momento magnético $ \boldsymbol{\mu} $:
mu

Passo 5

Agora, vamos calcular o torque $ \boldsymbol{\tau} $ sobre a espira. O torque é dado por:
tau
Onde $ \times $ representa o produto vetorial.
Primeiro, precisamos converter o campo magnético $ \mathbf{B} $ de militesla para tesla:
tau = mu times B
Simplificando:
times

Passo 6

Agora, fazemos o produto vetorial $ \boldsymbol{\mu} \times \mathbf{B} $:
mu times B
Calculando cada componente:
tau = (-1,25 az) times (0,2 ax + 0,1 ay - 0,3 az)
Sabendo que:
tau = -1,25 ( az times 0,2 ax + az times 0,1 ay + az times (-0,3) az )
Então:
az times ax = ay, az times ay = -ax, az times az = 0
tau = -1,25 ( 0,2 ay - 0,1 ax + 0 ) = -1,25 times 0,2 ay + 1,25 times 0,1 ax

Passo 7

Por fim, temos o vetor torque em relação à origem na origem (centro da espira). Porém, a questão pede em relação ao ponto A(3,6,9). Para isso, precisamos considerar o deslocamento do centro para o ponto A.
O torque em relação a um ponto diferente envolve não apenas $ \boldsymbol{\mu} \times \mathbf{B} $, mas também o momento da força devido à posição do centro no campo magnético. No entanto, se o campo magnético é uniforme, o torque adicional devido ao deslocamento é zero. Portanto, o torque calculado permanece o mesmo.

Resposta

O vetor torque na espira em relação ao ponto A é:
tau = 0,125 ax - 0,25 ay , Ncdotm

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