Para o estado de deformações num ponto de uma estrutura dado pelo tensor de deformações que segue, calcular o estado de tensões atuante neste ponto, sendo e .
Dado: .
Resposta: sigma=[ccc7 & -35 & 0 -35 & 3,5 & 3,5 0 & 3,5 & -14] MPa.
Passo 1
No enunciado, temos o tensor de deformações para um ponto em uma estrutura:
Também nos são fornecidos os módulos de elasticidade: e . O conteúdo da matéria envolve a relação entre tensões e deformações em materiais isotrópicos, utilizando a Lei de Hooke generalizada. Para resolver, vamos precisar aplicar essa lei e calcular os parâmetros de Lamé.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Hooke para materiais isotrópicos, que relaciona o tensor de tensões ( sigma = lambda , tr(varepsilon) , I + 2G , varepsilon ) ao tensor de deformações (). A equação geral é:
Aqui:
é o primeiro parâmetro de Lamé.
é o traço do tensor de deformações, ou seja, a soma das deformações normais.
é a matriz identidade.
é o módulo de cisalhamento.
Passo 3
Para determinar G = E2(1 + nu) , precisamos relacionar os módulos nu = E2G - 1 = 1752 times 70 - 1 = 175140 - 1 = 1,25 - 1 = 0,25 e lambda = E cdot nu(1 + nu)(1 - 2nu) = 175 times 0,25(1 + 0,25)(1 - 0,5) = 43,751,25 times 0,5 = 43,750,625 = 70 , GPa com o coeficiente de Poisson . A relação entre eles é dada por:
Resolvendo para :
Agora, usando para encontrar :
Passo 4
Vamos calcular o traço do tensor de deformações:
tr(varepsilon) = varepsilon11 + varepsilon22 + varepsilon33 = 0,55 times 10^-4 + 0,30 times 10^-4 + (-0,95) times 10^-4 = (-0,10) times 10^-4
Passo 5
Substituindo os valores na equação da Lei de Hooke:
sigma = -7 times 10^-4 + 77 times 10^-4 & 0 + (-350 times 10^-4) & 0 + 0 0 + (-350 times 10^-4) & -7 times 10^-4 + 42 times 10^-4 & 0 + 35 times 10^-4 0 + 0 & 0 + 35 times 10^-4 & -7 times 10^-4 + (-133 times 10^-4)
sigma = 70 times 10^-4 & -350 times 10^-4 & 0 -350 times 10^-4 & 35 times 10^-4 & 35 times 10^-4 0 & 35 times 10^-4 & -140 times 10^-4 , GPa
Passo 8
Convertendo as unidades de GPa para MPa ( sigma = 70 times 10^-4 times 1000 & -350 times 10^-4 times 1000 & 0 -350 times 10^-4 times 1000 & 35 times 10^-4 times 1000 & 35 times 10^-4 times 1000 0 & 35 times 10^-4 times 1000 & -140 times 10^-4 times 1000 , MPa ):