Para o estado de deformações num ponto de uma estrutura dado pelo tensor de deformações que segue, calcular o estado de tensões atuante neste ponto, sendo e .
Dado: .
Resposta: .
Passo 1
No enunciado, temos o tensor de deformações para um ponto em uma estrutura:
Também nos são fornecidos os módulos de elasticidade: e . O conteúdo da matéria envolve a relação entre tensões e deformações em materiais isotrópicos, utilizando a Lei de Hooke generalizada. Para resolver, vamos precisar aplicar essa lei e calcular os parâmetros de Lamé.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Hooke para materiais isotrópicos, que relaciona o tensor de tensões () ao tensor de deformações (). A equação geral é:
Aqui:
é o primeiro parâmetro de Lamé.
é o traço do tensor de deformações, ou seja, a soma das deformações normais.
é a matriz identidade.
é o módulo de cisalhamento.
Passo 3
Para determinar , precisamos relacionar os módulos e com o coeficiente de Poisson . A relação entre eles é dada por:
Resolvendo para :
Agora, usando para encontrar :
Passo 4
Vamos calcular o traço do tensor de deformações:
Passo 5
Substituindo os valores na equação da Lei de Hooke:
Substituindo , e :
Passo 6
Agora, vamos multiplicar a matriz identidade pelo termo calculado e multiplicar o tensor de deformações por 140: