Para o estado de deformações num ponto de uma estrutura dado pelo tensor de deformações que segue, calcular o estado de tensões atuante neste ponto, sendo e .
Dado: .
Resposta: .

Passo 1

No enunciado, temos o tensor de deformações para um ponto em uma estrutura:
Também nos são fornecidos os módulos de elasticidade: e . O conteúdo da matéria envolve a relação entre tensões e deformações em materiais isotrópicos, utilizando a Lei de Hooke generalizada. Para resolver, vamos precisar aplicar essa lei e calcular os parâmetros de Lamé.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Hooke para materiais isotrópicos, que relaciona o tensor de tensões ( ) ao tensor de deformações ( ). A equação geral é:
Aqui:
  • é o primeiro parâmetro de Lamé.
  • é o traço do tensor de deformações, ou seja, a soma das deformações normais.
  • é a matriz identidade.
  • é o módulo de cisalhamento.

Passo 3

Para determinar , precisamos relacionar os módulos e com o coeficiente de Poisson . A relação entre eles é dada por:
Resolvendo para :
Agora, usando para encontrar :

Passo 4

Vamos calcular o traço do tensor de deformações:

Passo 5

Substituindo os valores na equação da Lei de Hooke:
Substituindo , e :

Passo 6

Agora, vamos multiplicar a matriz identidade pelo termo calculado e multiplicar o tensor de deformações por 140:
Calculando a multiplicação:

Passo 7

Somando as duas matrizes resultantes:

Passo 8

Convertendo as unidades de GPa para MPa ( ):
Simplificando:

Resposta

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