Para o estado fundamental, calcule os valores esperados de x, px, x^2 e px^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os valores esperados de , , e no estado fundamental. Estamos lidando com o conteúdo de Mecânica Quântica, especificamente com o Oscilador Harmônico Quântico. Para resolver isso, vamos precisar usar a função de onda do estado fundamental e as fórmulas de valores esperados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o estado fundamental. No Oscilador Harmônico Quântico, o estado fundamental é o estado de menor energia possível. A função de onda desse estado é uma função gaussiana, que descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa posição.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre valores esperados. O valor esperado de um operador em mecânica quântica nos dá uma espécie de “média” dos resultados que esperaríamos ao medir essa grandeza. Matemáticamente, é calculado usando a integral da função de onda vezes o operador vezes a função de onda.

Passo 4

Vamos começar calculando o valor esperado de lang<= x rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) , x , psi(x) , dx , ou seja, lang<= x rang<= = 0 . Usamos a fórmula:
No estado fundamental, a função de onda é simétrica em torno de , então essa integral resulta em zero:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o valor esperado de lang<= px rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) ( -ihbar ddx ) psi(x) , dx , que é o operador momento. A fórmula é:
lang<= px rang<= = 0
Novamente, devido à simetria da função de onda no estado fundamental, esse valor esperado também é zero:

Passo 6

Agora, vamos para lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) , x^2 , psi(x) , dx . A fórmula é:
lang<= x^2 rang<= = hbar2momega
Para o estado fundamental do oscilador harmônico, esse valor é conhecido e é dado por:
onde é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula e é a frequência angular do oscilador.

Passo 7

Por fim, vamos calcular lang<= px^2 rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) ( -hbar^2 d^2dx^2 ) psi(x) , dx :
lang<= px^2 rang<= = mhbaromega2
No estado fundamental, esse valor também é conhecido:

Resposta

Os valores esperados no estado fundamental são:
lang<= x rang<= = 0, lang<= px rang<= = 0, lang<= x^2 rang<= = hbar2momega, lang<= px^2 rang<= = mhbaromega2

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