Para o estado fundamental, calcule os valores esperados de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os valores esperados de
,
,
e
no estado fundamental. Estamos lidando com o conteúdo de Mecânica Quântica, especificamente com o Oscilador Harmônico Quântico. Para resolver isso, vamos precisar usar a função de onda do estado fundamental e as fórmulas de valores esperados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o estado fundamental. No Oscilador Harmônico Quântico, o estado fundamental é o estado de menor energia possível. A função de onda desse estado é uma função gaussiana, que descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa posição.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre valores esperados. O valor esperado de um operador em mecânica quântica nos dá uma espécie de “média” dos resultados que esperaríamos ao medir essa grandeza. Matemáticamente, é calculado usando a integral da função de onda vezes o operador vezes a função de onda.
Passo 4
Vamos começar calculando o valor esperado de
, ou seja,
. Usamos a fórmula:
No estado fundamental, a função de onda é simétrica em torno de
, então essa integral resulta em zero:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o valor esperado de
, que é o operador momento. A fórmula é:
Novamente, devido à simetria da função de onda no estado fundamental, esse valor esperado também é zero:
Passo 6
Agora, vamos para
. A fórmula é:
Para o estado fundamental do oscilador harmônico, esse valor é conhecido e é dado por:
onde
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula e
é a frequência angular do oscilador.
Passo 7
Por fim, vamos calcular
:
No estado fundamental, esse valor também é conhecido:
Resposta
Os valores esperados no estado fundamental são:
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