Encontre a autofunção para o sistema no estado fundamental. Essa autofunção cumpre o príncipio da indistinguibilidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a autofunção (ou função própria) para o sistema no estado fundamental, que é o estado de menor energia. Além disso, precisamos verificar se essa autofunção segue o princípio da indistinguibilidade, que basicamente diz que partículas iguais são totalmente idênticas e não podem ser distinguíveis umas das outras. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre estados fundamentais e simetria das funções de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a autofunção é uma solução da equação de Schrödinger, que descreve como o estado quântico de um sistema evolui no tempo. No estado fundamental, a energia é mínima, e a função de onda geralmente tem uma forma simétrica.
Vamos assumir que estamos lidando com uma partícula em uma caixa potencial, que é um modelo simples onde a partícula está confinada entre duas paredes perfeitas. Para esse sistema, a autofunção no estado fundamental é dada por:
Aqui, é o comprimento da caixa e varia de 0 a .

Passo 3

Agora, sobre o princípio da indistinguibilidade, se estamos lidando com partículas idênticas (como dois elétrons), as funções de onda devem ser simétricas ou antissimétricas em relação à troca das partículas. No nosso caso, se considerarmos apenas uma partícula, a função de onda não precisa ser simétrica.
Mas se tivermos duas partículas no estado fundamental, a função de onda total seria produto das autofunções individuais. Dependendo do tipo de partículas (férmions ou bósons), a simetria muda:
  • Férmions (como elétrons) têm funções de onda antissimétricas.
  • Bósons têm funções de onda simétricas.
Como estamos no estado fundamental e a função de onda individual é simétrica, para bósons a função total também será simétrica, cumprindo o princípio da indistinguibilidade. Para férmions, precisaríamos incluir uma parte antissimétrica no spin, garantindo a antisymetria total.

Resposta

A autofunção no estado fundamental é e, para sistemas de partículas idênticas, essa autofunção cumpre o princípio da indistinguibilidade ao garantir simetria ou antissimetria apropriada dependendo do tipo de partículas.

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