Estagiando em uma construtora, você é designado para testar a segurança de um elevador de um novo edifício de escritórios. A carga máxima do elevador é de 1000 kg , incluindo sua própria massa, e ele deve ser suspenso por um cabo de aço de 3,0 cm de diâmetro e 300 m de comprimento total. Haverá risco para a segurança se o aço for tracionado mais do que 3,0 cm. Sua missão é determinar se o elevador é ou não seguro, como projetado, sabendo que a máxima aceleração do sistema será de 1,5 m / s^2. Escreva as recomendações necessárias para melhorar a segurança. Considere que o módulo de Young para o aço é 2,0 cdot 10^11 N / m^2. Sugestão: Calcule a força máxima usando a expressão F max =m(g+amax ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de física sobre a segurança de um elevador numa construtora. O assunto principal aqui é Mecânica, mais especificamente, Tensão em cables e Deformação. Para resolver isso, vamos precisar calcular a força máxima que o cabo vai suportar, a tensão no cabo, e verificar se a deformação causada por essa tensão está dentro do limite seguro. Usaremos a fórmula sugerida e o Módulo de Young para relacionar tensão e deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a força máxima que o cabo precisará suportar. A fórmula dada é:
Fmax = m cdot (g + amax)
Onde:
  • Fmax = 1000 , kg cdot (9,81 , m/s^2 + 1,5 , m/s^2) = 1000 cdot 11,31 = 11310 , N (massa total do elevador)
  • (aceleração da gravidade)
  • (aceleração máxima do sistema)
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção transversal do cabo de aço. O diâmetro do cabo é de r = 3,0 , cm2 = 1,5 , cm = 0,015 , m , então o raio A = pi r^2 = pi (0,015)^2 approx 0,0007069 , m^2 é metade disso:
A área de um círculo é dada por:

Passo 4

Com a força máxima e a área, podemos calcular a tensão sigma = FmaxA = 11310 , N0,0007069 , m^2 approx 1,597 times 10^7 , N/m^2 no cabo:

Passo 5

Agora, vamos relacionar a tensão com a deformação usando o Módulo de Young ( varepsilon = sigmaE ):
varepsilon = 1,597 times 10^72,0 times 10^11 = 7,985 times 10^-5
Onde:
Substituindo os valores:

Passo 6

A deformação ( varepsilon = De) é a razão entre a mudança de comprimento ( De) e o comprimento original ( ):
Queremos encontrar :

Passo 7

Agora, comparamos a deformação calculada com o limite de segurança dado no problema, que é de . Como , a deformação está dentro do limite seguro.

Resposta

O elevador é seguro conforme projetado, já que a deformação do cabo de aço está dentro do limite de 3,0 cm. Contudo, para aumentar a segurança, recomenda-se:
  • Verificar regularmente a integridade do cabo e realizar manutenção preventiva.
  • Utilizar cabos de aço com diâmetro maior para aumentar a margem de segurança.
  • Implementar sistemas de monitoramento da tensão no cabo durante o uso.
  • Considerar redundância, como usar múltiplos cabos para sustentar a carga total, reduzindo a tensão em cada um deles.

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