Em uma estamparia, o lucro mensal (ou prejuízo) L, obtido com a venda de x camisetas, era dado por L(x) = - 0,005 x² + 13 x -1250. Qual número de camisetas que devem ser vendidas para que o lucro obtido seja máximo?
c) 1800
a) 2000
d) 1200
e) 1300
b) 3700

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função que representa o lucro mensal, $ L(x) = -0,005x² + 13x -1250 $, onde $ x $ é o número de camisetas vendidas. A pergunta é: qual é o número de camisetas que precisamos vender para que o lucro seja máximo? Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática financeira, especificamente sobre funções quadráticas e como encontrar o valor máximo delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada: $ L(x) = -0,005x² + 13x -1250 $. Essa é uma função quadrática da forma $ ax² + bx + c $, onde:
  • $ a = -0,005 $
  • $ b = 13 $
  • $ c = -1250 $
Como o coeficiente de $ x² $ é negativo ($ a < 0 $), sabemos que a parábola dessa função está voltada para baixo, ou seja, ela tem um ponto de máximo.

Passo 3

Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza o lucro, usamos a fórmula do vértice da parábola. O vértice de uma função quadrática $ ax² + bx + c $ ocorre em $ x = -\frac{b}{2a} $.
Vamos aplicar essa fórmula com os valores que temos:
x

Passo 4

Calculando o denominador primeiro:
2 times -0,005 = -0,01
Agora, substituindo na fórmula:
x = -13-0,01
x = 130,01
x = 1300

Passo 5

Então, o número de camisetas que devem ser vendidas para obter o lucro máximo é de 1300 unidades.

Resposta

e) 1300

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