O número de bactérias de uma determinada cultura pode ser modelado utilizando a função B(t) = 800.2^t/40. Sendo B o número de bactérias presentes na cultura e t o tempo dado em horas a partir do início da observação. Aproximadamente, quantas horas serão necessárias para se obter 5000 bactérias nessa cultura? (Considere log2 = 0,30)
A) 10 horas
B) 50 horas
C) 110 horas
D) 150 horas
E) 200 horas
A) 10 horas
B) 50 horas
C) 110 horas
D) 150 horas
E) 200 horas
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que modela o número de bactérias em uma cultura ao longo do tempo: $ B(t) = 800 \times 2^{\frac{t}{40}} $, onde $ B $ é o número de bactérias e $ t $ é o tempo em horas. Queremos descobrir aproximadamente quantas horas serão necessárias para chegar a 5000 bactérias.
Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos para isolar a variável $ t $ na equação. Também vamos usar a informação que $ \log 2 = 0,30 $.
Passo 2
Começamos substituindo $ B(t) $ por 5000 na equação:
Passo 3
Nosso objetivo é resolver para $ t $. Primeiro, vamos dividir ambos os lados da equação por 800 para isolar a parte exponencial:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 4
Para resolver para $ t $, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação. Vou usar o logaritmo na base 10, já que temos $ \log 2 = 0,30 $:
Passo 5
Usamos a propriedade dos logaritmos que diz que $ \log(a^b) = b \times \log(a) $. Aplicando isso:
Sabemos que $ \log(2) = 0,30 $, então substituímos:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor de $ \log(6,25) $. Lembrando que $ 6,25 = \frac{25}{4} $, podemos calcular:
Sabemos que $ \log(10) = 1 $, então podemos estimar:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos isolar $ t $:
Resposta
A resposta mais próxima é 110 horas, que corresponde à opção C.