Estima-se que a população de uma cidade cresça 2% a cada 5 anos.
a) Qual é o crescimento estimado para um período de 20 anos?
b) E em um período de t anos?
a) Qual é o crescimento estimado para um período de 20 anos?
b) E em um período de t anos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre o crescimento da população de uma cidade. O enunciado diz que a população cresce 2% a cada 5 anos. Precisamos descobrir:
a) Qual é o crescimento estimado para um período de 20 anos?
b) Qual seria o crescimento para um período de t anos?
a) Qual é o crescimento estimado para um período de 20 anos?
b) Qual seria o crescimento para um período de t anos?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de crescimento percentual e progressão exponencial. Vamos precisar entender como aplicar a taxa de crescimento em múltiplos períodos de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um crescimento de 2% a cada 5 anos. Isso quer dizer que, a cada 5 anos, a população aumenta 2% em relação ao valor anterior.
Para calcular o crescimento total em vários períodos, usamos a fórmula de crescimento composto:
Onde:
- $ P $ é a população final.
- $ P_0 $ é a população inicial.
- $ r $ é a taxa de crescimento por período (nesse caso, 2% ou 0,02).
- $ n $ é o número de períodos.
Passo 3
Vamos aplicar isso para a parte a) do exercício: encontrar o crescimento em 20 anos.
Primeiro, precisamos saber quantos períodos de 5 anos existem em 20 anos:
Então, temos 4 períodos de 5 anos cada.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do crescimento composto:
Aqui, $ P_0 $ é a população inicial, e queremos saber o fator de crescimento, então podemos considerar $ P_0 = 1 $ para facilitar o cálculo.
Passo 5
Vamos calcular $ (1,02)^4 $:
Isso significa que a população vai crescer aproximadamente 8,24% em 20 anos.
Passo 6
Agora, para a parte b), queremos descobrir o crescimento em t anos.
Primeiro, determinamos quantos períodos de 5 anos existem em t anos:
Então, aplicamos a fórmula do crescimento composto:
Mais uma vez, considerando $ P_0 = 1 $:
Isso nos dá o fator de crescimento para qualquer intervalo de tempo t.
Resposta
a) O crescimento estimado para um período de 20 anos é de aproximadamente 8,24%.
b) O crescimento estimado para um período de t anos é dado por
, ou seja,
.