Resolva a integral trigonométrica sec^3x dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de sec^3 x , dx. Esse é um exercício de cálculo que envolve integrais trigonométricas. Para resolver, a gente vai usar uma técnica chamada integração por partes e também algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher u e dv de forma estratégica para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos deixar:
u = sec x e dv = sec^2 x , dx
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 4

Calculando du:
du = sec x tan x , dx
E calculando v:
v = integral sec^2 x , dx = tan x

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral sec^3 x , dx = sec x tan x - integral tan x cdot sec x tan x , dx
Simplificando a integral restante:
integral sec^3 x , dx = sec x tan x - integral sec x tan^2 x , dx

Passo 6

Sabemos que tan^2 x = sec^2 x - 1, então substituindo:
integral sec^3 x , dx = sec x tan x - integral sec x (sec^2 x - 1) , dx
Isso dá:
integral sec^3 x , dx = sec x tan x - integral sec^3 x , dx + integral sec x , dx

Passo 7

Agora, vamos somar integral sec^3 x , dx dos dois lados:
2 integral sec^3 x , dx = sec x tan x + integral sec x , dx
Sabemos que integral sec x , dx = ln |sec x + tan x| + C, então:
2 integral sec^3 x , dx = sec x tan x + ln |sec x + tan x| + C

Passo 8

Dividindo ambos os lados por 2:
integral sec^3 x , dx = 12 sec x tan x + 12 ln |sec x + tan x| + C

Resposta

A integral de sec^3 x , dx é:
integral sec^3 x , dx = 12 sec x tan x + 12 ln |sec x + tan x| + C

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