Um produtor de café em pó adquiriu uma nova máquina de empacotamento automático. Ele deseja garantir que a quantidade média de café nos pacotes não seja significativamente diferente de 250 g. Sabe-se do certificado de inspeção da máquina que a variação das quantidades dispensadas tem uma distribuição normal, com desvio-padrão igual a 7 g, e a média pode ser regulada para diferentes valores. O produtor procedeu então da seguinte maneira: regulou a máquina, produziu uma amostra de 49 pacotes e realizou um teste de hipóteses para avaliar se a média verdadeira diferiria (ou não) significativamente do valor de 250 g. São dados deste teste:
valor
. Com base nesses dados, responda:
(d) Ao estimar a média amostral, qual deveria ser o tamanho mínimo (aproximado) da amostra para garantir que o erro amostral não exceda 2 g?
(d) Ao estimar a média amostral, qual deveria ser o tamanho mínimo (aproximado) da amostra para garantir que o erro amostral não exceda 2 g?
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um produtor de café que quer garantir que a média de café em cada pacote seja bem próxima de 250 gramas. Sabemos que a variação nas quantidades segue uma distribuição normal com desvio-padrão de 7 gramas. O produtor fez um teste com 49 pacotes e agora quer saber qual o tamanho mínimo da amostra para que o erro na estimativa da média não seja maior que 2 gramas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de intervalo de confiança e margem de erro.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que é a margem de erro. A margem de erro nos diz o quanto nossa estimativa da média amostral pode variar em relação à verdadeira média da população. Quanto menor for a margem de erro, mais precisa será a nossa estimativa.
Passo 3
Para calcular o tamanho mínimo da amostra necessário para que a margem de erro não exceda 2 gramas, usamos a fórmula da margem de erro em um intervalo de confiança para a média:
Onde:
- $ E $ é a margem de erro (2 gramas nesse caso),
- $ z_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado,
- $ \sigma $ é o desvio-padrão da população (7 gramas),
- $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
Passo 4
Assumindo que estamos trabalhando com um nível de confiança de 95% (já que o teste de hipótese anterior usou $ \alpha = 0,05 $), o valor de $ z_{\alpha/2} $ é aproximadamente 1,96.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Agora, vamos resolver para $ n $:
Passo 6
Primeiro, isolamos $ \sqrt{n} $:
Calculando o numerador:
Então:
Passo 7
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar $ n $:
Passo 8
Como o tamanho da amostra não pode ser uma fração, arredondamos para o próximo número inteiro:
Resposta
O tamanho mínimo da amostra necessário para garantir que o erro amostral não exceda 2 gramas é aproximadamente 48 pacotes.