A estrutura do cromo à temperatura ambiente é cúbica de corpo centrado (CCC). Cr tem raio atômico de - peso atòmico de . Calcule: (a) o parametro de rede do Cr , (b) a densidade linear (número de atomos por nm) na direçäo [111] c © a densidade planar (número de átomos por nm²) no plano (110).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre a estrutura cristalina do cromo (Cr) à temperatura ambiente, que é cúbica de corpo centrado (CCC). A gente vai calcular três coisas:
a) O parâmetro de rede do Cr.
b) A densidade linear na direção [111].
c) A densidade planar no plano (110).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre estruturas cristalinas, como a relação entre o raio atômico e o parâmetro de rede, e como calcular densidades lineares e planares usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o parâmetro de rede do cromo. Em uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC), os átomos estão posicionados nos vértices do cubo e um átomo no centro.
Nesse tipo de estrutura, a diagonal do cubo que passa pelo centro contém dois raios atômicos mais o diâmetro de um átomo. Matematicamente, isso fica assim:
A diagonal de um cubo também está relacionada ao parâmetro de rede pela fórmula:
Igualando as duas expressões:
Agora, isolamos :
Sabemos que o raio atômico do Cr é 0,125 nm. Substituindo na equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular a densidade linear na direção [111]. A densidade linear é o número de átomos por unidade de comprimento ao longo de uma direção específica.
Na direção [111] de uma estrutura CCC, os átomos estão alinhados de uma esquina do cubo para a esquina oposta, passando pelo centro. Neste caminho, temos dois átomos (um no início e outro no final) e um átomo compartilhado no centro, totalizando 2 átomos efetivos por comprimento de diagonal.
Sabemos que a diagonal na direção [111] é . Já calculamos como 0,289 nm, então:
Agora, a densidade linear é:
úáá

Passo 4

Por fim, vamos calcular a densidade planar no plano (110). A densidade planar é o número de átomos por unidade de área em um determinado plano cristalino.
No plano (110) da estrutura CCC, a área unitária do plano pode ser calculada usando os parâmetros de rede. Para o plano (hkl), a área é:
Para (110):
Substituindo :
Agora, contamos quantos átomos estão no plano (110). Na estrutura CCC, cada plano (110) contém 2 átomos efetivos.
Então, a densidade planar é:
úáÁá

Resposta

(a) O parâmetro de rede do Cr é aproximadamente 0,289 nm.
(b) A densidade linear na direção [111] é 4 átomos/nm.
© A densidade planar no plano (110) é aproximadamente 33,9 átomos/nm².

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