Um estudante em uma certa manhã, sai de casa apressado para a escola e apanha na correria aleatoriamente uma das 3 sacolas iguais que estão em cima da mesa. Uma delas contém o seu lanche: dois sanduíches de queijo e manteiga. Outra sacola contém o lanche de sua irmã: um sanduíche de queijo e manteiga e outro de presunto, (que ele detesta). A terceira sacola contém restos de comida que serão dados ao gato. Pensando em ter ou não, pegado a sacola errada, no meio do caminho ele abre a sacola e tira um sanduíche e verifica que é de queijo e manteiga. (Fica aliviado, pelo menos não é a sacolinha da comida do gato). Pergunta-se: Nessas condições, qual a probabilidade de ter apanhado a sacola correta?

Passo 1

Vamos resumir o que o problema nos diz e identificar o que precisamos para resolver. Temos três sacolas iguais:
  1. A sacola do estudante com dois sanduíches de queijo e manteiga.
  2. A sacola da irmã com um sanduíche de queijo e manteiga e outro de presunto.
  3. A sacola com restos de comida para o gato.
O estudante pega uma sacola aleatoriamente e, ao tirar um sanduíche, vê que é de queijo e manteiga. Queremos descobrir a probabilidade de ele ter pegado a sacola correta (a primeira).
Para resolver, vamos usar o conceito de probabilidade condicional, que nos ajuda a determinar a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os eventos:
  • A: O estudante pegou a sacola correta (com dois sanduíches de queijo e manteiga).
  • B: O estudante tirou um sanduíche de queijo e manteiga.
Queremos encontrar a probabilidade de A acontecer dado que B já aconteceu, ou seja, .

Passo 3

Para calcular P(A|B) = P(A cap B)P(B) , usamos a fórmula da probabilidade condicional:
Onde:
  • é a probabilidade de ambos os eventos A e B acontecerem.
  • é a probabilidade de B acontecer.

Passo 4

Vamos calcular P(A cap B) = P(A) times 1 = 13 times 1 = 13 . Isso significa a probabilidade de o estudante ter pegado a sacola correta e ter tirado um sanduíche de queijo e manteiga.
Como se ele pegou a sacola correta, que tem apenas sanduíches de queijo e manteiga, a probabilidade de tirar um sanduíche de queijo e manteiga é 100%, ou seja, 1. Portanto:
Porque a chance de pegar a sacola correta é .

Passo 5

Agora, vamos calcular P(B) = 13 times 1 + 13 times 12 + 13 times 0 = 13 + 16 + 0 = 12 , a probabilidade de tirar um sanduíche de queijo e manteiga, independente de qual sacola foi escolhida.
Para isso, vamos considerar todas as sacolas:
  1. Sacola do estudante: dois sanduíches de queijo e manteiga. Então, qualquer sanduíche tirado será de queijo e manteiga. Probabilidade: .
  2. Sacola da irmã: um sanduíche de queijo e manteiga e um de presunto. Então, a probabilidade de tirar um sanduíche de queijo e manteiga é .
  3. Sacola do gato: não tem sanduíches de queijo e manteiga. Probabilidade: .
Agora, como a escolha da sacola é igualmente provável, cada sacola tem probabilidade de ser escolhida. Então:

Passo 6

Agora que temos P(A|B) = 1312 = 23 e , substituímos na fórmula da probabilidade condicional:

Resposta

A probabilidade de o estudante ter pegado a sacola correta é ou aproximadamente 66,67%.

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