Numa usina nuclear somente em um a cada 100 dias há algo errado com o reator. Em dos em que há algo errado com o reator o alarme dessa usina dispara e, por outro lado, ele também dispara em dos dias em que não há nada de errado com o reator. Qual é a probabilidade condicional de haver algo errado com o reator se o alarme disparou?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma usina nuclear onde, em 1 a cada 100 dias, algo dá errado com o reator. Quando ocorre algo errado, o alarme dispara em 99% das vezes. Além disso, mesmo quando não há nada errado, o alarme ainda dispara em 1% dos dias. Queremos descobrir a probabilidade de que realmente haja algo errado com o reator, dado que o alarme disparou.
Vamos precisar usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a calcular a probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos:
: Há algo errado com o reator.
: O alarme dispara.
Sabemos que:
(probabilidade de algo errado ocorrer em um dia).
(probabilidade de não haver nada errado).
(probabilidade do alarme disparar dado que há algo errado).
(probabilidade do alarme disparar sem haver nada errado).
Passo 3
O Teorema de Bayes nos diz que:
P(A|B) = P(B|A) cdot P(A)P(B)
Precisamos calcular P(B) = P(B|A) cdot P(A) + P(B|A) cdot P(A) , que é a probabilidade total do alarme disparar. Usamos a regra da probabilidade total:
Passo 4
Vamos calcular P(B) = (0,99 times 0,01) + (0,01 times 0,99) = 0,0099 + 0,0099 = 0,0198 :
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar P(A|B) = 0,99 times 0,010,0198 = 0,00990,0198 = 0,5 :
Resposta
A probabilidade de haver algo errado com o reator, dado que o alarme disparou, é de 50%.