Numa usina nuclear somente em um a cada 100 dias há algo errado com o reator. Em 99 % dos em que há algo errado com o reator o alarme dessa usina dispara e, por outro lado, ele também dispara em 1 % dos dias em que não há nada de errado com o reator. Qual é a probabilidade condicional de haver algo errado com o reator se o alarme disparou?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma usina nuclear onde, em 1 a cada 100 dias, algo dá errado com o reator. Quando ocorre algo errado, o alarme dispara em 99% das vezes. Além disso, mesmo quando não há nada errado, o alarme ainda dispara em 1% dos dias. Queremos descobrir a probabilidade de que realmente haja algo errado com o reator, dado que o alarme disparou.
Vamos precisar usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a calcular a probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • : Há algo errado com o reator.
  • : O alarme dispara.
Sabemos que:
  • (probabilidade de algo errado ocorrer em um dia).
  • (probabilidade de não haver nada errado).
  • (probabilidade do alarme disparar dado que há algo errado).
  • (probabilidade do alarme disparar sem haver nada errado).

Passo 3

O Teorema de Bayes nos diz que:
P(A|B) = P(B|A) cdot P(A)P(B)
Precisamos calcular P(B) = P(B|A) cdot P(A) + P(B|A) cdot P(A) , que é a probabilidade total do alarme disparar. Usamos a regra da probabilidade total:

Passo 4

Vamos calcular P(B) = (0,99 times 0,01) + (0,01 times 0,99) = 0,0099 + 0,0099 = 0,0198 :

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar P(A|B) = 0,99 times 0,010,0198 = 0,00990,0198 = 0,5 :

Resposta

A probabilidade de haver algo errado com o reator, dado que o alarme disparou, é de 50%.

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